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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Sa 17.11.2007 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | U={f [mm] \in K^{M} [/mm] | f(x)=0}
V={f [mm] \in K^{M} [/mm] | f(a)=f(b) für alle a,b [mm] \in [/mm] M }
U und V sind Teilräume von [mm] K^{M}
[/mm]
K ist ein Körper und M eine nichtleere menge, wobei x ein Element von M ist
Zeige dass folgende ausagen wahr sind
U + V [mm] =K^{M}
[/mm]
U [mm] \cap [/mm] V ={0} |
Hallo, ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe, ich bin etwas verwirrt, weil in U x die Variable ist und in V a und b.... und überhaupt ist es mir etwas schleierhaft, wie ich eine Vereinigung aus diesen Mengen bilden kann.... mir ist schon irgendwie klar dass hier die einzelnen Elemente irgendwelche Funktionen sind, aber ..... :(
Kann mir jemand helfen?
ch habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
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> U={f [mm] \in K^{M} [/mm] | f(x)=0}
> [mm] V=\{f \in K^{M} | f(a)=f(b) für alle a,b \in M \}
[/mm]
> U und V sind Teilräume von [mm] K^{M}
[/mm]
>
>
> Zeige dass folgende ausagen wahr sind
> U + V [mm] =K^{M}
[/mm]
> U [mm] \cap [/mm] V ={0}
> Hallo, ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe, ich bin
> etwas verwirrt, weil in U x die Variable ist und in V a
> und b....
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Was sind eigentlich K und M?
Sind mit [mm] K^M [/mm] die Funktionen von [mm] M\to [/mm] K gemeint?
Dann habe ich den Verdacht, daß die erste Menge, U, nicht richtig angegeben ist.
Es bleibt nämlich im Dunkeln, ob in U die Funktionen sind,
- die für alle [mm] x\in [/mm] K =0 sind
-die für ein x [mm] \in [/mm] K =0 sind (das scheidet allerdings aus, da es sich um Unterräume v. [mm] K^M [/mm] handeln soll)
- die an einer festen Stelle x den Wert 0 annehmen.
In V sind dann die Funktionen, die für alle Elemente aus M denselben Wert haben, also die konstanten Funktionen.
> und überhaupt ist es mir etwas schleierhaft, wie
> ich eine Vereinigung aus diesen Mengen bilden kann
Vereinigung ist doch einfach: alle Elemente aus U und alle aus V werden zusammen in einen großen Topf geschüttet.
In der Vereinigung sind die elemente, die in U oder in V sind (Def. der Vereinigung v. Mengen).
Aber von Vereinigung ist hier gar nciht die Rede, sondern v. U+V.
Schau mal nach, wie Ihr die Summe v. Vektorräumen definiert hattet.
Gruß v. Angela
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Nun wird einiges klarer.
In U sind also alle die Funktionen, die an einer fest vorgegebenen Stelle x [mm] \in [/mm] M den Wert 0 haben.
Wenn Dich das x wirr macht, weil es normalerweise für eine Variable steht, sei einfach etwas nett zu Dir und formuliere die Angelegenheit um.
Wir machen das jetzt so: M ist eine Menge, die das Element m enthält,
und [mm] U:=\{ f\in K^M | f(m)=0\}, [/mm] also alle Funktionen, die bei m eine Nullstelle haben.
Bei V hatte ich ja schon verraten, daß das die konstanten Funktionen sind.
Nun, der Durchschnitt enthält die Funktionen, die in beiden Mengen sind, also konstant und Nullstelle bei m.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Sa 17.11.2007 | | Autor: | Kreide |
also die Summe von 2 Teilräumen ist wieder ein Teilraum , dass bedeutet, dass [mm] K^{M} [/mm] auch ein Teilraum ist
U+V={u+v | u [mm] \in [/mm] U , v [mm] \in [/mm] V}
muss ich jetzt also jeweils ein Element aus U bzw V nehmen und addieren?
aber wie geht denn das... :(
U+V = [mm] f(x)+f(a)=0+f(b)=f(b)=K^{M} [/mm]
das sieht total falsch aus.... isses bestimmt auch, oder?
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> hatte mal nachgeschaut wegen der summe von Teilräumen....
> ist hier die direkte Summe gemeint? [mm]\oplus[/mm]
Zunächst mal nicht.
Wenn Du Dir die Def,. der direkten Summe anschaust, beinhaltet das ja zweierlei:
1. Summe, also + , diese Definition brauchen wir.
2. Direkte Summe nennt man das, wenn zusätzlich die Teilräume nur die Null als gemeinsames Element haben.
Das sollst Du ja in Deiner Aufgabe auch noch zeigen.
Summa summarum zeigst Du in der Aufgabe, daß M=U [mm] \oplus [/mm] V,
jedoch zunächst brauchen wir die Def. der Summe. Das steht unter Garantie irgendwo vor der direkten Summe.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:35 Sa 17.11.2007 | | Autor: | Kreide |
oups, hatte meine frage geändert, während du sie beantwortet hattest... ;) hab die Definition der Summe gefunden, hab aber wie man zwei kästen weiter oben sieht noch probleme damit.... :( leider...
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> also die Summe von 2 Teilräumen ist wieder ein Teilraum ,
> dass bedeutet, dass [mm]K^{M}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
auch ein Teilraum ist
>
> U+V:={u+v | u [mm]\in[/mm] U , v [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V}
Genau.
Der Raum U+V besteht aus sämtlichen Elementen, die man durch Addition der Elemente de seinen zu denen des anderen Raumes erhälten kann.
>
> muss ich jetzt also jeweils ein Element aus U bzw V nehmen
> und addieren?
> aber wie geht denn das... :(
> U+V = [mm]f(x)+f(a)=0+f(b)=f(b)=K^{M}[/mm]
> das sieht total falsch aus.... isses bestimmt auch, oder?
[mm] U+V=\{ g+h | g\in U und h\in V\}={g+h | g,h\in K^M und g(m)=0 und h(x) ist konstant\}.
[/mm]
Du sollst nun ja zeigen: U+V = [mm] K^M.
[/mm]
Dies beinhaltet
U+V subseteq [mm] K^M
[/mm]
und
[mm] K^m\subseteq [/mm] U+V.
Die erste Aussage ist kaum der Erwähnung wert, das ergibt sich sofort aus der Definition der Addition v. Funktionen.
Die zweite Aussage ist interessant, und da kannst Du ein wenig drüber meditieren:
jede beliebige Abbildung f aus [mm] K^M [/mm] kann man schreiben als Summe einer Funktion, die bei m eine Nullstell hat und einer konstanten Funktion.
(Um der sache auf die Spur zu kommen, schaust Du Dir am besten mal die "normalen" Funkrionen v. [mm] \IR \to \IR [/mm] an und überlegst Dir, wie man das hinkriegt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 So 18.11.2007 | | Autor: | Kreide |
> U+V [mm] \subseteq[/mm] [mm]K^M[/mm]
> Die erste Aussage ist kaum der Erwähnung wert, das ergibt
> sich sofort aus der Definition der Addition v. Funktionen.
für mich ergibt sich das irgendwie nich sofort.... ich denke glaubig zuviel nach, könntest du das noch mal etwas erläutern?
Ich hab es mal mit der Definition von der Teilmenge versucht:
U+V [mm] \subseteq K^{M} \gdw \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] U+V : x [mm] \in K^{M}
[/mm]
Da U und V Unterräume sind, bedeutet dass, dass ein u [mm] \in [/mm] U und ein [mm] v\in [/mm] V existieren(Unterraumkriterium: Menge muss nichtleer sein). Da nun U und V Unterräume von [mm] K^{M} [/mm] sind, sind u und v auch in [mm] K^{M} [/mm] enthalten und somit ist U+V [mm] \subseteq K^{M}
[/mm]
richtig?
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> > U+V [mm]\subseteq[/mm] [mm]K^M[/mm]
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> > Die erste Aussage ist kaum der Erwähnung wert, das ergibt
> > sich sofort aus der Definition der Addition v. Funktionen.
>
> für mich ergibt sich das irgendwie nich sofort.... ich
> denke glaubig zuviel nach,
Hallo,
keinesfalls!!!
Es ist immer besser, dreimal zuviel nachzudenken, als irgendwelche abstrusen Schnellsch(l)üsse abzulassen.
Wenn Du Dich bei jeder Zeile fragst: warum eigentlich? Ist das wirklich so?, hast Du etwas über die notwendige gründliche Arbeitsweise begriffen, von der andere Studienanfänger noch weit entfernt sind.
> könntest du das noch mal etwas
> erläutern?
Das ist nicht nötig, denn Du tust es unten selbst.
>
> Ich hab es mal mit der Definition von der Teilmenge
> versucht:
> U+V [mm]\subseteq K^{M} \gdw \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] U+V : x [mm]\in K^{M}[/mm]
Genau.
Sei nun x [mm] \in [/mm] U+V
>
> Da U und V Unterräume sind, bedeutet dass, dass ein u [mm]\in[/mm]
> U und ein [mm]v\in[/mm] V existieren
mit x=u+v.
> Da nun U und V Unterräume von [mm]K^{M}[/mm] sind,
> sind u und v auch in [mm]K^{M}[/mm] enthalten
also ist x=u+v [mm] \in K^M
[/mm]
> und somit ist U+V
> [mm]\subseteq K^{M}[/mm]
> richtig?
Ja, prima!
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:18 Mo 19.11.2007 | | Autor: | Valvakvlam |
Was ich wissen wollte, hat sich erledigt. :)
Alles Gute.
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