Durchschnitt affiner Unterraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 Sa 22.10.2011 | | Autor: | lenzlein |
| Aufgabe | [mm] \mathcal{U} [/mm] sei ein beliebiges System von affinen Unterräumen [mm] \mathcal{E} [/mm] eines affinen Raumes [mm] \mathcal{A}. [/mm] Man beweise, dass dann auch
[mm] \mathcal{A}' [/mm] := [mm] \bigcap_{\mathcal{E} \subset \mathcal{U}} \mathcal{E} [/mm] wieder ein affiner Unterraum von [mm] \mathcal{A} [/mm] ist. |
Hallöle,
ich habe bereits die erste Aufgabe zu dieser Serie hier online gestellt (Aufabe 1) und im Endeffekt hat diese Aufgabe hier sehr viel Ähnlichkeit mit der anderen. Ich schätze, dass ich im Endeffekt mithilfe der Axiome eines affinen Unterraums überprüfen sollte, ob das auch auf den Durchschnitt zutrifft. Meine Frage ist nun: Wie kann ich mit dem Durchschnitt arbeiten? Inwiefern kann ich da Dinge beweisen?
Danke im Voraus!
Lg lenzlein
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Moin,
"einfach" die Definition anwenden.
Wie ist die Definition von affiner Unterraum?
[mm]U\subseteq A[/mm] (affiner) Unterraum von A, falls [mm]U=\{P\in A , \overrightarrow{QP}\in W\}=\{P+X,X\in W\}[/mm] für einen Untervektorraum [mm]W[/mm] von Vektorraum [mm]V_A[/mm] und [mm]Q\in A[/mm]
Den Beweis kannst du in zwei Fälle einteilen: trivial und nicht trivial. (Durchschnitt leer oder nicht)
Falls der Durchschnitt [mm]\mathcal{A}'=\cap_{\mathcal{E}\subseteq U}\mathcal{E}[/mm] nicht leer ist, so gibt es doch einen Punkt [mm]r \in \mathcal{A}'[/mm]. Dieser Punkt [mm]r[/mm] liegt doch insbesondere auch im affinen Unterraum [mm]\mathcal{E}_i\subseteq U[/mm], d.h. ....
Vielleicht lenkst du es in die Richtung der Untervektorräume und dem Wissen, dass der Schnitt von Untervektorräumen wieder ein Untervektorraum ist.
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