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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:43 Fr 20.03.2009 | | Autor: | Rufio87 |
| Aufgabe | U1 = [mm] {(x+1)^2, x^2, (x-1)^2} [/mm]
U2 = [mm] {x^2+x, x^3+1}
[/mm]
ges.: U1 [mm] \cap [/mm] U2 |
Hallo!
ich weiss bei der aufgabe nicht ganz weiter.
ich habe die Basisvektoren von U1 & U2 weiters ist durch einsetzen von koordinaten U1 = {p1 = [mm] ax^2+bx+c [/mm] | a,b,c element R}
und U2 = {p2 = [mm] bx^3+ax^2+bx+a [/mm] | a,b element R} => U1 & U2 sind polynom Unterräume.
die durchschnittsmenge sind alljene vektoren die in U1 und U2 enthalten sind also: p1 = p2 => [mm] a1x^2+b1x+c1 [/mm] = [mm] b2x^3+a2x^2+b2x+a2
[/mm]
=> b2 = 0 => [mm] a1x^2+b1x+c1 [/mm] = [mm] a2x^2+a2 [/mm] => b1 = 0 => [mm] a1x^2+c1 [/mm] = [mm] a2x^2+a2 [/mm] da wir den durschnitt der linken und rechten seite haben willen muss die lösung [mm] ax^2+a [/mm] lauten....
stimmt meine vorgehensweise so? falls ja, gibts da vielleicht eine elegantere methode? falls meine rechnung nicht stimmen sollte hoffe ich, dass mir jemand weiterhelfen kann!
vielen dank
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> U1 = [mm]{(x+1)^2, x^2, (x-1)^2}[/mm]
> U2 = [mm]{x^2+x, x^3+1}[/mm]
> ges.: [mm] U1\capU2
[/mm]
> Hallo!
>
> ich weiss bei der aufgabe nicht ganz weiter.
> ich habe die Basisvektoren von U1 & U2
Hallo,
bist Du wirklich sicher, daß Du Basisvektoren hast?
Hast Du dich davon überzeugt? (Es stimmt.)
>weiters ist durch
> einsetzen von koordinaten $U1 =\ {p1 = [mm] ax^2+bx+c [/mm] | a,b,c element [mm] R\}$
[/mm]
> und U2 = {p2 = [mm] bx^3+ax^2+bx+a [/mm] a,b element [mm] R\} [/mm]
Was meinst Du mit "durch Einsetzen von Koordinaten"?
Deine Menge [mm] U_1 [/mm] stimmt, denn [mm] U_1 [/mm] ist ein dreidimensionaler Unterraum des dreidimensionalen Raumes der Polynome v. Höchstgrad 2, also der Raum selber, und deshalb sind hier alle Polynome drin, die man schreiben kann als [mm] q=ax^2+bx+c.
[/mm]
Deine Menge [mm] U_2 [/mm] stimmt nicht. Zwar sind alle Elemente aus [mm] U_2 [/mm] Polynome vom Höchstgrad 3, aber es ist nicht [mm] U_2 [/mm] der Raum der Polynome v. Höchstgrad 3, sondern nur ein zweidimensionaler Unterraum davon.
In [mm] U_2 [/mm] sind alle Polynome p, die sich schreiben lassen als [mm] p=a*(x^2+x)+b(x^3+1)
[/mm]
> => U1 & U2
> sind polynom Unterräume.
>
> die durchschnittsmenge sind alljene vektoren die in U1 und
> U2 enthalten sind
Genau.
Du mußt nun [mm] a_2*(x^2+x)+b_2(x^3+1)=a_1x^2+b_1x+c_1
[/mm]
lösen.
Ausmultiplizieren, dann einen Koeffizientenvergleich.
Ah, ich sehe, das hast Du auch getan. Du hast Dich aber beim Auflösen der linken Seite vertan und bekommst daher das falsche Ergebnis.
(Bitte setze in Zukunft Indizes, man kann dann alles um Klassen besser erkennen. Ich gehe davon aus, daß Du Ausländer bist, und will zum sonstigen Text daher nur so viel sagen: bitte spendiere ein paar Satzzeichen.)
> also: p1 = p2 => [mm]a1x^2+b1x+c1[/mm] =
> [mm]b2x^3+a2x^2+b2x+a2[/mm]
> => b2 = 0 => [mm]a1x^2+b1x+c1[/mm] = [mm]a2x^2+a2[/mm] => b1 = 0 => [mm]a1x^2+c1[/mm]
> = [mm]a2x^2+a2[/mm] da wir den durschnitt der linken und rechten
> seite haben willen muss die lösung [mm]ax^2+a[/mm] lauten....
>
> stimmt meine vorgehensweise so?
Das mit dem Gleichsetzen und Auflösen ist vom Prinzip her richtig, den Fehler mußt Du noch beseitigen.
> falls ja, gibts da
> vielleicht eine elegantere methode?
Wenn Du das magst und kannst, kannst Du hier mit Koordinatenvektoren bzgl der Standardbasis [mm] (x^3, x^2, [/mm] x, 1)des Raumes der Polynome vom Höchstgrad 3 arbeiten, und die Räume
[mm] U_1=<\vektor{0\\1\\2\\1}, \vektor{0\\1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\-2\\1}> [/mm] und [mm] U_2=<\vektor{0\\1\\1\\0}, \vektor{1\\0\\0\\1}> [/mm] zum Schnitt bringen.
Gruß v. Angela
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