Durchschnittsmenge < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:05 Mo 14.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Durchschnittsmenge: [mm] \bigcap_{n \in \IN}\left\{x \in \IR: 0 < x-1 < \bruch{1}{n}\right\} [/mm] |
Nun kann es sein das dies nur die Leere Menge ist? Für x [mm] \ge [/mm] 1 gibt es doch kein n [mm] \in \IN, [/mm] sodass x-1 < [mm] \bruch{1}{n}. [/mm] Für x < 1 gehts doch auch nicht. Oder sehe ich das völlig falsch?
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 Mo 14.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die Durchschnittsmenge: [mm]\bigcap_{n \in \IN}\left\{x \in \IR: 0 < x-1 < \bruch{1}{n}\right\}[/mm]
>
> Nun kann es sein das dies nur die Leere Menge ist?
Ja
> Für x [mm]\ge[/mm] 1 gibt es doch kein n [mm]\in \IN,[/mm] sodass x-1 <
> [mm]\bruch{1}{n}.[/mm]
Na klar gibts so was : für x=1,1 ist x-1<1/2
> Für x < 1 gehts doch auch nicht.
Was geht nicht ???
> Oder sehe
> ich das völlig falsch?
Keine Ahnung. Möglicherweise hast Du oben das Richtige gemeint, Dich aber sehr unglücklich ausgedrückt.
Nimm mal an, der obige Durchschnitt sei nicht leer. Dann gibt es also ein x mit:
$ 0 < x-1 < [mm] \bruch{1}{n}$ [/mm] für jedes n [mm] \in \IN.
[/mm]
Du erhältst mit $n [mm] \to \infty$ [/mm] daraus einen Widerspruch. Welchen ?
FRED
>
> LG Loriot95
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Mo 14.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> > Bestimmen Sie die Durchschnittsmenge: [mm]\bigcap_{n \in \IN}\left\{x \in \IR: 0 < x-1 < \bruch{1}{n}\right\}[/mm]
>
> >
> > Nun kann es sein das dies nur die Leere Menge ist?
>
> Ja
>
> > Für x [mm]\ge[/mm] 1 gibt es doch kein n [mm]\in \IN,[/mm] sodass x-1 <
> > [mm]\bruch{1}{n}.[/mm]
>
> Na klar gibts so was : für x=1,1 ist x-1<1/2
Das ist richtig. So wie du unten geschrieben hast habe ich mich unglücklich ausgedrückt. Meinte natürlich für 0 < x-1 < [mm] \bruch{1}{n}.
[/mm]
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> > Für x < 1 gehts doch auch nicht.
>
> Was geht nicht ???
>
>
> > Oder sehe
> > ich das völlig falsch?
>
> Keine Ahnung. Möglicherweise hast Du oben das Richtige
> gemeint, Dich aber sehr unglücklich ausgedrückt.
>
> Nimm mal an, der obige Durchschnitt sei nicht leer. Dann
> gibt es also ein x mit:
>
>
> [mm]0 < x-1 < \bruch{1}{n}[/mm] für jedes n [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Du erhältst mit [mm]n \to \infty[/mm] daraus einen Widerspruch.
> Welchen ?
Na ja dann müsste 0 < x-1 und x-1 < 0 für n gegen unendlich gelten. Aber damit habe ich doch nur gezeigt das dies im unendlichen der Fall ist. Sollte ich das ganze mit Induktion beweisen?
> FRED
> >
> > LG Loriot95
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Hallo Loriot,
> > Nimm mal an, der obige Durchschnitt sei nicht leer. Dann
> > gibt es also ein x mit:
> >
> >
> > [mm]0 < x-1 < \bruch{1}{n}[/mm] für jedes n [mm]\in \IN.[/mm]
> >
> > Du erhältst mit [mm]n \to \infty[/mm] daraus einen Widerspruch.
> > Welchen ?
> Na ja dann müsste 0 < x-1 und x-1 [mm] \red{\leq} [/mm] 0 für n gegen
> unendlich gelten. Aber damit habe ich doch nur gezeigt das
> dies im unendlichen der Fall ist. Sollte ich das ganze mit
> Induktion beweisen?
Nein. Kennst du das archimedische Axiom? Es besagt leicht abgewandelt, zu jedem [mm] y=x-1\in\IR^+ [/mm] gibt es ein [mm] n\in\IN [/mm] mit [mm] y>\frac{1}{n}.
[/mm]
Anders gesagt: [mm] \frac{1}{n} [/mm] wird beliebig klein, daher lässt sich immer ein n finden, sodass die Eigenschaft oben erfüllt ist.
Auf die Aufgabe bezogen: Es gibt immer eine Menge, in der x-1 für beliebig gewähltes x nicht enthalten ist.
>
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Mo 14.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > Bestimmen Sie die Durchschnittsmenge: [mm]\bigcap_{n \in \IN}\left\{x \in \IR: 0 < x-1 < \bruch{1}{n}\right\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Nun kann es sein das dies nur die Leere Menge ist?
> >
> > Ja
> >
> > > Für x [mm]\ge[/mm] 1 gibt es doch kein n [mm]\in \IN,[/mm] sodass x-1 <
> > > [mm]\bruch{1}{n}.[/mm]
> >
> > Na klar gibts so was : für x=1,1 ist x-1<1/2
> Das ist richtig. So wie du unten geschrieben hast habe
> ich mich unglücklich ausgedrückt. Meinte natürlich für
> 0 < x-1 < [mm]\bruch{1}{n}.[/mm]
> >
> > > Für x < 1 gehts doch auch nicht.
> >
> > Was geht nicht ???
> >
> >
> > > Oder sehe
> > > ich das völlig falsch?
> >
> > Keine Ahnung. Möglicherweise hast Du oben das Richtige
> > gemeint, Dich aber sehr unglücklich ausgedrückt.
> >
> > Nimm mal an, der obige Durchschnitt sei nicht leer. Dann
> > gibt es also ein x mit:
> >
> >
> > [mm]0 < x-1 < \bruch{1}{n}[/mm] für jedes n [mm]\in \IN.[/mm]
> >
> > Du erhältst mit [mm]n \to \infty[/mm] daraus einen Widerspruch.
> > Welchen ?
> Na ja dann müsste 0 < x-1 und x-1 < 0 für n gegen
> unendlich gelten. Aber damit habe ich doch nur gezeigt das
> dies im unendlichen der Fall ist. Sollte ich das ganze mit
> Induktion beweisen?
Unsinn.
Aus $ 0 < x-1 < [mm] \bruch{1}{n} [/mm] $ für jedes n $ [mm] \in \IN. [/mm] $ folgt der Widerspruch [mm] 0
FRED
> > FRED
> > >
> > > LG Loriot95
> >
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Mo 14.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
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> Aus [mm]0 < x-1 < \bruch{1}{n}[/mm] für jedes n [mm]\in \IN.[/mm] folgt
> der Widerspruch [mm]0
>
> FRED
Ok, ja das sehe ich ein. Das bedeutet doch das es solch eine Menge gar nicht gibt und somit auch keinen Durchschnitt, oder?
LG Loriot95
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Mo 14.03.2011 | | Autor: | fred97 |
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> > Aus [mm]0 < x-1 < \bruch{1}{n}[/mm] für jedes n [mm]\in \IN.[/mm] folgt
> > der Widerspruch [mm]0
> >
> > FRED
>
> Ok, ja das sehe ich ein. Das bedeutet doch das es solch
> eine Menge gar nicht gibt und somit auch keinen
> Durchschnitt, oder?
Doch so eine Menge gibt es: $ [mm] \bigcap_{n \in \IN}\left\{x \in \IR: 0 < x-1 < \bruch{1}{n}\right\} [/mm] = [mm] \emptyset$
[/mm]
FRED
>
> LG Loriot95
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:13 Mo 14.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Ok, vielen Dank an alle. :)
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