Durchschnittszeit < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:04 Di 11.12.2007 | | Autor: | Waldifee |
| Aufgabe | An einem Bahnhof kommen die Züge dreier Zuggesellschaften an:
Die täglich 90 Züge der A-Bahn erreichen den Bahnhof im Durchschnitt fahrplanmäßig (Standardabweichung: 2 Minuten), die 35 Züge der B-Bahn sind durchschnittlch 2 Minuten spät (Varianz: 4 [mm] Minuten^{2}), [/mm] die 15 Züge der C-Bahn kommen im Schnitt 5 Minuten zu spät (Varianz: 1 [mm] Minuten^{2}). [/mm] Wir bestimmen jeden Tag die durchschnittliche Verspätungszeit X aller Züge. In diesen Durchschnitt fließen sowohl verspätete, als auch frühzeitige Ankünfte ein.
FRAGE 1:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Durchschnittszeit an einem gegebenen Tag größer als 2 Minuten ist?
FRAGE 2:
Wir bestimmen nun an einem Tag die Summe X der Verspätungszeiten aller Züge. In diese Summe fließen sowohl verspätete, als auch frühzeitige Ankünfte ein. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Summe zwischen 100 und 400 Minuten liegt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Zu Frage 1:
Ich unterstelle, dass der Zentrale Grenzwertsatz gilt, d.h. ich wende die Normalverteilung an und habe gedacht ich berechne nun für Zug A, B und C die Wahrscheinlichkeit, z.B. P(-2<A<2)... und gewichte entsprechend.
Aber wie soll ich jetzt auf die Durchschnittszeit kommen.
Zu Frage 2:
Hier ist ja irgendwie nicht mehr der Durchschnitt gefragt, sondern die Aufsummierung.
HELP!
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:55 Di 11.12.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Waldifee,
zunaechst ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Bist du sicher, dass da nichts von normalverteilten Ankunftszeiten
steht?
Betrachten wir die 90 Ankuftszeiten [mm] $A_1,...,A_{90}$ [/mm] der A-Bahn, die 35
Ankuftszeiten [mm] $B_1,...,B_{35}$ [/mm] der B-Bahn und die 15 Ankuftszeiten
[mm] $C_1,...,C_{15}$ [/mm] der C-Bahn. Es sei [mm] $S_A=A_1+...+A_{90}$ [/mm] die Summe der
Ankunftzeiten der A-Bahn und [mm] $S_B$ [/mm] bzw. [mm] $S_C$ [/mm] ist analog definiert.
Ich habe etwas Schwierigkeiten anzunehmen, dass [mm] $S_C$ [/mm] approximativ
normalverteilt ist. Warum? Bedenke, dass Ankunftszeiten im
allgemeinen eine schiefe Verteilung haben, denn es kommt haeufiger vor,
dass Zuege sich verspaeten als dass sie zu frueh kommen. Wenn [mm] $C_i$
[/mm]
aber eine schiefe Verteilung besitzt, so koennte es sein, dass der
Zentrale Grenzwertsatz fuer 15 Werte noch nicht "greift". Eine mir
bekannte Faustregel besagt, dass man ihn bei unsymmetrischen
Verteilungen erst ab 30 oder mehr Beobachtungen anwenden soll.
Ferner erscheint mir die Annahme der Unabhaengigkeit der Ankunftszeiten
fraglich.
Alle diese Bedenken ueber Bord werfend, betrachten wir das
arithmetische Mittel
[mm] $\bar X=(S_A+S_B+S_C)/140=S/140$.
[/mm]
Nehmen wir also an, dass [mm] $S_A$ [/mm] normalverteilt ist mit Erwartungswert
$0$ und Varianz [mm] $90\times [/mm] 4$, symbolisch [mm] $S_A\sim N(0,90\times [/mm] 4)$.
Weiter sei [mm] $S_B\sim N(30\times(-2),30\times [/mm] 4)$ und [mm] $S_C\sim N(15\times(-5),15\times [/mm] 1)$.
Dann errechne *ich* [mm] $S\sim [/mm] N(-135,495)$ und entsprechend [mm] $\bar X\sim [/mm] N(-0.96,0.025)$.
Bei beiden Teilaufgaben erhalte ich jeweils die Wahrscheinlichkeit 0.
Hast du die Aufgabenstellungen korrekt angegeben?
vg Luis
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Also ich habe jetzt versucht das ganze nochmal nachzuvollziehen und kam zu folgenden Schlüssen:
E(A) = 0 Var(A) = 4
E(B) = 2 Var(B) = 4
E(C) = 5 Var(C) = 1
Ich denke:
E(X) = 0*90/140 + 2*35/140 + 5*15/140 =28/29
Sd(X) = 2*90/140 + 2*35/140 + 1*15/140 =53/28
--> X ~ N(28/29, 2809/784)
P(X>2) = 1 - P(X<2) = 0,305224 ???
Was haltet ihr von dieser Lösung für Frage 1?
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:42 Do 13.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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