E-Fkt. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:48 Mi 01.06.2011 | | Autor: | Valerie20 |
| Aufgabe | Gesucht: ein c [mm] \in \IR [/mm] , dass [mm] e^{x} [/mm] > [mm] 1+x^{1000} [/mm] für [mm] x\in\IR, [/mm] x [mm] \ge [/mm] c
Verwendet werden darf:
exp(x) = [mm] 1+x+\bruch{x^{2}}{2!}+\bruch{x^{3}}{3!}+.....=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^{k}}{k!} [/mm] |
Hallo!
Hier mal mein Ansatz:
Hab zuerst mal die Summendarstellung der E-Fkt. herangezogen.
[mm] e^{x}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^{k}}{k!}
[/mm]
dann [mm] x^{1000} [/mm] auf beiden Seiten ausgeklammert und gekürzt:
[mm] \bruch{1}{x^{1000}}+\bruch{1}{x^{999}}+\bruch{1}{x^{998}*2!}+.......+\bruch{1}{1000!}+\bruch{x}{1001!}+\bruch{x^{2}}{1002!}+.......+ [/mm] > [mm] \bruch{1}{x^{1000}}+1
[/mm]
Für x=1 ist das ganze auch noch ganz einleuchtend, aber für größere Zahlen nur schlecht nachzuvollziehen.
Über bessere Lösungsansätze würde ich mich sehr freuen.
Zur Lösung verwendet werden soll nur die Summendarstellung der E-Fkt..
Also nichts mit L'hopital,...
gruß
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Hi Valerie,
ich glaube nicht, dass die Aufgabe so richtig gestellt ist. Für $x=2$ zum Beispiel ist diese Ungleichung schon nicht mehr richtig.
VG
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Hallo!
Doch, die Aufgabe ist genau so gestellt.
Es soll eben ein c [mm] \in \IR [/mm] gefunden werden, sodass die Aufgabenstellung gilt.
Für große k ist die E-fkt tatsächlich größer.
Allgemein gilt übrigens, dass: [mm] e^{x} [/mm] > [mm] x^{n} [/mm] mit x > [mm] 4n^{2}
[/mm]
Das kann ich hier aber nicht verwenden.
Wäre immer noch an hilfreichen Vorschlägen interessiert.
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Mi 01.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
> Doch, die Aufgabe ist genau so gestellt.
> Es soll eben ein c [mm]\in \IR[/mm] gefunden werden, sodass die
> Aufgabenstellung gilt.
Also: gesucht ist ein c>0 mit [mm] e^x>1+x^{1000} [/mm] für x [mm] \ge [/mm] c
Ist das die Aufgabe ? Wenn ja, so ist die Aufgabe nicht genauso gestellt wie oben !!
> Für große k ist die E-fkt tatsächlich größer.
> Allgemein gilt übrigens, dass: [mm]e^{x}[/mm] > [mm]x^{n}[/mm] mit x >
> [mm]4n^{2}[/mm]
> Das kann ich hier aber nicht verwenden.
Was darfst Du auch nicht verwenden ? Was darfst Du verwenden ???
FRED
>
> Wäre immer noch an hilfreichen Vorschlägen
> interessiert.
>
> gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:37 Mi 01.06.2011 | | Autor: | Valerie20 |
> > Hallo!
> > Doch, die Aufgabe ist genau so gestellt.
> > Es soll eben ein c [mm]\in \IR[/mm] gefunden werden, sodass die
> > Aufgabenstellung gilt.
>
> Also: gesucht ist ein c>0 mit [mm]e^x>1+x^{1000}[/mm] für x [mm]\ge[/mm] c
>
> Ist das die Aufgabe ? Wenn ja, so ist die Aufgabe nicht
> genauso gestellt wie oben !!
>
>
> > Für große k ist die E-fkt tatsächlich größer.
> > Allgemein gilt übrigens, dass: [mm]e^{x}[/mm] > [mm]x^{n}[/mm] mit x >
> > [mm]4n^{2}[/mm]
> > Das kann ich hier aber nicht verwenden.
>
> Was darfst Du auch nicht verwenden ?
> Was darfst Du
> verwenden ???
Die Reihendarstellung darf verwendet werden:
exp(x) = [mm] 1+x+\bruch{x^{2}}{2!}+\bruch{x^{3}}{3!}+.....=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^{k}}{k!}
[/mm]
Gesucht: ein c [mm] \in \IR [/mm] , dass [mm] e^{x} [/mm] > [mm] 1+x^{1000} [/mm] für [mm] x\in\IR, [/mm] x [mm] \ge [/mm] c
Genau so lautet die Fragenstellung.
gruß
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> FRED
> >
> > Wäre immer noch an hilfreichen Vorschlägen
> > interessiert.
> >
> > gruß
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> Hi Valerie,
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> ich glaube nicht, dass die Aufgabe so richtig gestellt ist.
> Für [mm]x=2[/mm] zum Beispiel ist diese Ungleichung schon nicht
> mehr richtig.
Hallo,
wenn man sich die Funktionen so in einem kleinen
Bereich (etwa für [mm] 0\le{x}\le [/mm] 10) anschaut, dann sieht
es zwar so aus, als ob $\ [mm] 1+x^{1000}$ [/mm] viel schneller wachse
als [mm] e^x [/mm] . Damit unterschätzt man aber die Power der
Exponentialfunktion kolossal, denn sie ist für [mm] x\to\infty
[/mm]
"stärker" als jedes Polynom !
LG Al-Chw.
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So, hab die Aufgabenstellung noch mal abgeändert.
Hat nun jemand eine Idee wie man das beweisen kann?
Mittlerweile dachte ich auch darüber nach die Reihendarstellung der Exponentialfunktion abzuschätzen:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^{k}}{k!} [/mm] > [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{x^{k}}{k!} [/mm] > [mm] \bruch{x^{n}}{n!}
[/mm]
Jetzt müsste ich aber in Richtung [mm] 1+x^{1000} [/mm] abschätzen können. Geht leider nicht. Deshalb ist dieser Ansatz wohl auch eher nicht zu gebrauchen.
gruß
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Hallo,
> So, hab die Aufgabenstellung noch mal abgeändert.
> Hat nun jemand eine Idee wie man das beweisen kann?
>
> Mittlerweile dachte ich auch darüber nach die
> Reihendarstellung der Exponentialfunktion abzuschätzen:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^{k}}{k!}[/mm] >
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{x^{k}}{k!}[/mm] > [mm]\bruch{x^{n}}{n!}[/mm]
>
> Jetzt müsste ich aber in Richtung [mm]1+x^{1000}[/mm] abschätzen
> können. Geht leider nicht. Deshalb ist dieser Ansatz wohl
> auch eher nicht zu gebrauchen.
Versuche folgendes:
Offensichtlich gilt für $x > 0$: [mm] $e^{x} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!} [/mm] > 1 + [mm] \frac{x^{1001}}{1001!} [/mm] = [mm] 1+\left(\frac{x}{1001!}\right)\cdot x^{1000}$.
[/mm]
Für $x [mm] \ge [/mm] 1001!$ gilt also stets:
[mm] $e^{x} [/mm] > 1 + [mm] x^{1000}$.
[/mm]
Dass das keine besonders gute Abschätzung ist, steht außer Frage. Aber das ist in der Aufgabenstellung ja auch nicht gefordert.
Grüße,
Stefan
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> Hallo,
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> > So, hab die Aufgabenstellung noch mal abgeändert.
> > Hat nun jemand eine Idee wie man das beweisen kann?
> >
> > Mittlerweile dachte ich auch darüber nach die
> > Reihendarstellung der Exponentialfunktion abzuschätzen:
> >
> > [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^{k}}{k!}[/mm] >
> > [mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{x^{k}}{k!}[/mm] > [mm]\bruch{x^{n}}{n!}[/mm]
> >
> > Jetzt müsste ich aber in Richtung [mm]1+x^{1000}[/mm] abschätzen
> > können. Geht leider nicht. Deshalb ist dieser Ansatz wohl
> > auch eher nicht zu gebrauchen.
>
> Versuche folgendes:
>
> Offensichtlich gilt für [mm]x > 0[/mm]: [mm]e^{x} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!} > 1 + \frac{x^{1001}}{1001!} = 1+\left(\frac{x}{1001!}\right)\cdot x^{1000}[/mm].
>
> Für [mm]x \ge 1001![/mm] gilt also stets:
>
> [mm]e^{x} > 1 + x^{1000}[/mm].
>
> Dass das keine besonders gute Abschätzung ist, steht
> außer Frage. Aber das ist in der Aufgabenstellung ja auch
> nicht gefordert.
Hi Stefan!
Finde deine Abschätzung gut. 1001! ist zwar eine exorbitant große Zahl, aber da in der Aufgabenstellung nichts von einem "kleinsten c [mm] \in \IR [/mm] steht, dürfte das wohl genügen. ;) Danke!
Es existiert ja die allgemeine Definition, dass [mm] e^{x} [/mm] > [mm] x^{n} [/mm] für x > [mm] 4n^{2} [/mm] ist.
Mich würde mal interessieren wie man auf die [mm] 4n^{2} [/mm] kommt?
>
> Grüße,
> Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Sa 04.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:46 Mi 01.06.2011 | | Autor: | rabilein1 |
> Gesucht: ein c [mm]\in \IR[/mm] , dass [mm]e^{x}[/mm] > [mm]1+x^{1000}[/mm] für [mm]x\in\IR,[/mm] x [mm]\ge[/mm] c
Weißt du denn, was da für c rauskommen soll?
Es sei [mm]e^{x}[/mm] = [mm]x^{1000}[/mm]
Dann ist x = 1000*ln(x)
ln 1000 = 6.907
ln 6907 = 8.840
ln 8840 = 9.084
ln 9084 = 9.114
ln 9114 = 9.117
ln 9117 = 9.117
Das ist natürlich nur ungefähr. Aber somit sollte das gesuchte c so um 9117 liegen.
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