E-Fkt, logistisches Wachstum < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Funktion
[mm] \frac{50*e^0^,^0^2^x}{4+e^0^,^0^2^x} [/mm]
ist ein Beispiel für logistisches Wachstum.
a) Begründen Sie, dass weder Nullstellen noch Extrempunkte vorliegen und untersuchen Sie das Verhalten von f für x [mm] \to \pm \infty [/mm] .
b)Bestimmen Sie die Stelle des größten Anstiegs des Graphen von f sowie den zugehörigen Funktionswert. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe bei a) Fragen zur Darstellungsweise. Mir ist von der Logik her klar (hoffe ich?), dass die e-Fkt nie kleiner als 1 werden kann und, da sie hier im Zähler & im Nenner steht, der Term nicht 0 werden kann. Somit gibt es für f(x) = 0 keine Lösung. Das selbe gilt dann für die Ableitung(en), denn auch die Ableitungsterme können nicht 0 werden. Die Frage ist nur, wie stelle ich das sauber dar?
b) Hier bin ich etwas stutzig. Normalerweise würde ich hier den Hochpunkt der ersten Ableitung suchen. Allerdings hat die Funktion (s.o) keine Extremstellen. Wie bekomme ich also den stärksten Anstieg heraus, ohne Ermittlung des Hochpunkts?
Vielen Dank!
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> Die Funktion
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> [mm]\frac{50*e^0^,^0^2^x}{4+e^0^,^0^2^x}[/mm]
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> ist ein Beispiel für logistisches Wachstum.
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> a) Begründen Sie, dass weder Nullstellen noch Extrempunkte
> vorliegen und untersuchen Sie das Verhalten von f für x
> [mm]\to \pm \infty[/mm] .
>
> b)Bestimmen Sie die Stelle des größten Anstiegs des
> Graphen von f sowie den zugehörigen Funktionswert.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
>
> ich habe bei a) Fragen zur Darstellungsweise. Mir ist von
> der Logik her klar (hoffe ich?), dass die e-Fkt nie kleiner
> als 1 werden kann und, da sie hier im Zähler & im Nenner
> steht, der Term nicht 0 werden kann. Somit gibt es für
> f(x) = 0 keine Lösung. Das selbe gilt dann für die
> Ableitung(en), denn auch die Ableitungsterme können nicht
> 0 werden. Die Frage ist nur, wie stelle ich das sauber
> dar?
Wenn du die Funktion auf ganz [mm] \IR [/mm] betrachtest, ist die e-Funktion immer >0, aber nicht überall [mm] $\ge [/mm] 1$.
Das reicht aber natürlich aus, um zu begründen, dass f(x)>0 für alle x.
Um zu zeigen,m dass dies auch für die Ableitung gilt, musst du erstmal f'(x) bestimmen. Und einen Hochpunkt von f' bekommst du als Nullstelle der 2. Ableitung, denn diese kann sehr wohl 0 werden.
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> b) Hier bin ich etwas stutzig. Normalerweise würde ich
> hier den Hochpunkt der ersten Ableitung suchen. Allerdings
> hat die Funktion (s.o) keine Extremstellen. Wie bekomme ich
> also den stärksten Anstieg heraus, ohne Ermittlung des
> Hochpunkts?
>
> Vielen Dank!
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Okay, also wäre a) damit, dass [mm] f(x) > o [/mm], schon hinreichend geklärt oder müsste da noch was kommen?
Zu b)
Die Ableitungen sind:
[mm] f'(x) = \frac{4e^0^.^0^2^x}{4+e^0^.^0^2^x} [/mm]
[mm] f''(x) = 0,08e^0^.^0^2^x * \frac{4-e^0^.^0^2^x}{(4+e^0^.^0^2^x)^3} [/mm]
Jetzt müsste ich schauen, wo der Nenner und der Zähler 0 werden können, richtig?
[mm] 0 = 0,08e^0^.^0^2^x * \frac{4-e^0^.^0^2^x}{(4+e^0^.^0^2^x)^3} [/mm]
Oder?
Das Problem jetzt: das Ergebnis sollte x = ~ 4 sein (laut meinem GTR). Aber ich komme rechnerisch nur auf -56?
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> Okay, also wäre a) damit, dass [mm]f(x) > o [/mm], schon
> hinreichend geklärt oder müsste da noch was kommen?
Das sollte so klar sein
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> Zu b)
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> Die Ableitungen sind:
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> [mm]f'(x) = \frac{4e^0^.^0^2^x}{4+e^0^.^0^2^x}[/mm]
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> [mm]f''(x) = 0,08e^0^.^0^2^x * \frac{4-e^0^.^0^2^x}{(4+e^0^.^0^2^x)^3}[/mm]
>
> Jetzt müsste ich schauen, wo der Nenner und der Zähler 0
> werden können, richtig?
Ja (wenn du richtig gerechnet hast, das hab ich jetzt nicht nachgeprüft),
wobei der Nenner nirgends 0 wird.
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> [mm]0 = 0,08e^0^.^0^2^x * \frac{4-e^0^.^0^2^x}{(4+e^0^.^0^2^x)^3}[/mm]
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> Oder?
ja, [mm] \Leftrightarrow e^{x/50}=4
[/mm]
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> Das Problem jetzt: das Ergebnis sollte x = ~ 4 sein (laut
> meinem GTR). Aber ich komme rechnerisch nur auf -56?
Um x=4 hat f' kein Maximum, da musst du irgendwas falsch eingegeben haben.
-56 kommt aber auch nicht hin
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Also die Ableitungen müssten stimmen.
1. [mm]e^0^.^0^2 = 4[/mm]
2. [mm]0.02x = ln 4 [/mm]
3. [mm]x = 69.31471 [/mm]
Ist das die Lösung?! Oo unsympathische Aufgabe -.-
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> Also die Ableitungen müssten stimmen.
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> 1. [mm]e^0^.^0^2 = 4[/mm]
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> 2. [mm]0.02x = ln 4[/mm]
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> 3. [mm]x = 69.31471[/mm]
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> Ist das die Lösung?! Oo unsympathische Aufgabe -.-
ja, sieht gut aus
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