E-Funktion , lin. Abb. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:12 Mi 28.12.2005 | | Autor: | Lavanya |
Es bezeichne C( [mm] \IR, \IR) [/mm] den [mm] \IR-Vektorraum [/mm] der stetig differenzierbaren Funktion [mm] \IR \to \IR. [/mm] Wir bestrachten die lineare Abbildung :
F: C( [mm] \IR, \IR) \to Abb(\IR ,\IR), [/mm] f [mm] \to [/mm] f '
| Aufgabe | Zeigen Sie : Die Menge
B :={ [mm] e^{x}, e^{x}+ e^{2x}, e^{x}+ e^{2x}+ e^{3x},e^{x}+ e^{2x}+ e^{3x}+e^{4x}}
[/mm]
ist eine Basis des Vektorraums V:=span { [mm] e^{x},e^{2x},e^{3x},e^{4x}}.
[/mm]
(Tipp: { [mm] e^{x},e^{2x},e^{3x},e^{4x} [/mm] } ist laut Vorlesung linear unabhaengig.)
(I) Zeigen Sie : F(V)= V.
(II) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix des Endomorphismus F|V: V [mm] \to [/mm] V bezueglich der Basis B von V. |
Halli Hallo,
koenntet ihr mir hier vielleicht helfen ?
gruss Lavanya
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:32 Mi 28.12.2005 | | Autor: | moudi |
> Zeigen Sie : Die Menge
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> [mm]B :=\{e^{x}, e^{x}+ e^{2x}, e^{x}+ e^{2x}+ e^{3x},e^{x}+ e^{2x}+ e^{3x}+e^{4x}\}[/mm]
>
> ist eine Basis des Vektorraums [mm]V:=span\{e^{x},e^{2x},e^{3x},e^{4x}\}.[/mm]
>
> (Tipp: [mm]\{e^{x},e^{2x},e^{3x},e^{4x}\}[/mm] ist laut Vorlesung
> linear unabhaengig.)
>
> (I) Zeigen Sie : F(V)= V.
>
> (II) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix des
> Endomorphismus F|V: V [mm]\to[/mm] V bezueglich der Basis B von V.
> Halli Hallo,
>
> koenntet ihr mir hier vielleicht helfen ?
Ein Tipp von mir: Seien [mm] $f_1,\dots,f_4$ [/mm] die Vektoren aus B und [mm] $e_1,\dots,e_4$ [/mm] die Vektoren [mm] $e^x,\dots,e^{4x}$. [/mm] Stelle jetzt [mm] $f_i=\sum\limits_{j=1}^4a_{ij}e_j$ [/mm] als Linearkombination dar, wenn die Matrix [mm] $(a_{ij})$ [/mm] regulär ist, dann ist B ebenfalls eine Basis.
mfG Moudi
>
> gruss Lavanya
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:53 Do 29.12.2005 | | Autor: | Lavanya |
Hi Moudi,
das hat jetzt geklappt. Dankeschoen......
Aber wie mache ich die anderen beiden anderen Aufgaben?
Koenntest du mir da vielleicht auch helfen ?
gruss Dilani
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:56 Do 29.12.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Dilani!
> Koenntest du mir da vielleicht auch helfen ?
Nein, da wir nicht wissen, wie $F$ aussieht... 
Liebe Grüße
Julius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:07 Do 29.12.2005 | | Autor: | Lavanya |
Ich habe vergessen anzugeben, wie f aussieht....
also
F: C( [mm] \IR, \IR) \to Abb(\IR ,\IR), [/mm] f [mm] \to [/mm] f '
sorry !
Vielleicht jetzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:49 Do 29.12.2005 | | Autor: | Julius |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Offenbar bilden auch die Bilder der Basis $(e^x, e^{2x}, e^{3x}, e^{4x})$, also
$F(e^x)=e^x$,
$F(e^{2x}) = 2e^{2x$,
$F(e^{3x})=3e^{3x}$,
$F(e^{4x})=4e^{4x}$,
eine Basis von $V$. Daraus folgt: $F(V)=V$.
Zur letzten Aufgabe:
Kompliziert ginge es so:
Es sei für $i \in \{1,2,3,4\}$ $b_i$ der $i$-te Basisvektor der angegebenen Basis.
Finde für alle $i\in\{1,2,3,4\}$ Skalare $a_{1i},a_{2i},a_{3i}, a_{4i}$ mit
$F(b_i) = a_{1i}b_1 + a_{2i}b_2 + a_{3i}b_3 + a_{4i}b_4$.
Dann ist
$\pmat{a_{1i} \\ a_{2i} \\ a_{31} \\ a_{4i}}$
der $i$-te Spaltenvektor der gesuchten Darstellungsmatrix von $F$.
Nun haben wir aber zum Glück eine Transformationsformel für lineare Abbildungen:
Sind ${\cal B}$ und ${\cal C}$ verschiedene Basen und kennt man die Darstellung $M_{{\cal B}}(F)$ einer linearen Abbildung bezüglich einer Basis ${\cal B}$ sowie die Basiswechselmatrix $T_{{\cal B}}^{{\cal C}}$ (in den Spalten stehen die neuen Basisvektoren von ${\cal C }$ als Linearkombination der alten Basisvektoren von ${\cal B}$), so gilt:
$M_{{\cal C}}(F) = \left(T_{{\cal B}}^{{\cal C}})^{-1} \cdot M_{{\cal B}}(F) \cdot T_{{\cal B}}^{{\cal C}}$.
Und die Matrix von $F$ bezüglich der Basis $(e^x, e^{2x}, e^{3x}, e^{4x})$ hat eben eine besonders einfache Gestalt, das sollte man hier ausnutzen. 
Liebe Grüße
Julius
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