E-Funktionsgleichung lösen? < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Diskutiere die Funktion [mm] f_{a}(x)=(x+a)e^{-x} [/mm] mit [mm] a\in\IR.
[/mm]
Zeichne die Graphen von [mm] f_{1} [/mm] und [mm] f_{3} [/mm] und berechne die eingeschlossene Fläche. |
Hallöchen,
Ich stecke leider bei dieser Aufgabe fest.
Graphen wurden schon gezeichnet, eine vollständige Kurvendiskussion wurde durchgeführt.
Nun muss ich ja den Schnittpunkt der beiden Funktionen ausrechnen, deswegen habe ich die Gleichung aufgestellt:
[mm] (x+1)e^{-x} [/mm] = [mm] (x+3)e^{-x}
[/mm]
Kann ich da nun [mm] e^{-x} [/mm] einfach wegkürzen, sodass die Gleichung nicht lösbar wird und somit keine Antwort vorhanden ist?
Dann müsste ich ja später beim Integral (für die Flächenberechnung) die Grenzen jeweils nach [mm] +\infty [/mm] und [mm] -\infty [/mm] streben lassen... kann das sein?
Vielen Dank für die Hilfe im Voraus :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Oha, vielen Dank für die schnelle Antwort!
(Hatte wahrscheinlich noch irgendwas von der Mittelstufe im Kopf, irgendwas mit "niemals Variablen kürzen" oder so...)
A Propos, in der Aufgabenstellung stehen keine weiteren Grenzen oder Hinweise... Schade.
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> Oha, vielen Dank für die schnelle Antwort!
> (Hatte wahrscheinlich noch irgendwas von der Mittelstufe
> im Kopf, irgendwas mit "niemals Variablen kürzen" oder
> so...)
>
> A Propos, in der Aufgabenstellung stehen keine weiteren
> Grenzen oder Hinweise... Schade.
... möglicherweise schade für den Aufgabensteller. Ich kann
mir gut vorstellen, dass er noch irgendeine Einschränkung
im Sinn hatte (z.B. nur das Gebiet oberhalb der x-Achse)
und sich dessen aber nicht klar bewusst war ...
LG Al-Chw.
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> Diskutiere die Funktion [mm]f_{a}(x)=(x+a)e^{-x}[/mm] mit [mm]a\in\IR.[/mm]
> Zeichne die Graphen von [mm]f_{1}[/mm] und [mm]f_{3}[/mm] und berechne die
> eingeschlossene Fläche.
> Dann müsste ich ja später beim Integral (für die
> Flächenberechnung) die Grenzen jeweils nach [mm]+\infty[/mm] und
> [mm]-\infty[/mm] streben lassen... kann das sein?
Es fragt sich nur, was sich der Urheber der Aufgabe unter
"der eingeschlossenen Fläche" wirklich vorgestellt hat.
Ist einfach die Fläche zwischen den beiden Kurven (ohne
weitere Einschränkung) gemeint, so ist diese unendlich groß.
LG Al-Chw.
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Genau, die Fläche ist gemeint... Und die Zeichnung legt mir auch nahe, dass sie unendlich groß ist. Aber leider muss man das ja rechnerisch nachweisen... *grummel*
Ich versuche gerade beim Integral, die Stammfunktion von [mm] (x+1)*e^{-x} [/mm] bzw. [mm] (x+1)*e^{-x} [/mm] zu bilden. Da ja noch ein Faktor davor steht, müsste man ja sozusagen die Produktregel rückgängig machen, oder? Ist das diese partielle Integration, die ich nie verstanden habe? :P
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Mi 31.08.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja das ist die partielle Integration: setzt (x+1)=v; [mm] e^{-x}=u
[/mm]
dann [mm]\integral_{a}^{b}{uv' dx}=uv-\integral_{a}^{b}{u'vdx}
\textrm{ nichts anderes als} (uv)'= u'v+uv'; uv'=(uv)'-u'v
[/mm]
und jetzt integriert. so schwer ist das nicht, nur die produktregel rückwärts!
Gruss leduart
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Okay, die werde ich dann wohl für mein Abi noch unbedingt wiederholen müssen. :D Dankeschön für die Erklärung!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Mi 31.08.2011 | | Autor: | abakus |
> Genau, die Fläche ist gemeint... Und die Zeichnung legt
> mir auch nahe, dass sie unendlich groß ist. Aber leider
> muss man das ja rechnerisch nachweisen... *grummel*
>
> Ich versuche gerade beim Integral, die Stammfunktion von
> [mm](x+1)*e^{-x}[/mm] bzw. [mm](x+1)*e^{-x}[/mm] zu bilden.
Hallo,
wozu tust du das?
Die Fläche zwischen zwei Graphen entspricht immer noch der Fläche zwischen ihrer Differenzfunktion und der x-Achse (in was für Grenzen auch immer).
Die Differenz von [mm] (x+3)*e^{-x} [/mm] und [mm] (x+1)*e^{-x} [/mm] ist
[mm] 2*e^{-x}.
[/mm]
Das kann man ohne große Klimmzüge integrieren (und man braucht mindestens eine feste untere Integrationsgrenze; "oben" darf das Ganze ruhig gegen [mm] -\infty [/mm] gehen).
Gruß Abakus
> Da ja noch ein
> Faktor davor steht, müsste man ja sozusagen die
> Produktregel rückgängig machen, oder? Ist das diese
> partielle Integration, die ich nie verstanden habe? :P
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Oh...... OH, bin ich dumm. Ich hab nicht gesehen, dass man die beiden Terme voneinander abziehen kann. :'D
Vielen Dank für den Tipp!
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