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Forum "Zahlentheorie" - EULERsche-Phi-Funktion
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EULERsche-Phi-Funktion: Tipp
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 08:39 Mo 20.11.2006
Autor: Arnbert

Hallo!
Brauche ganz dringend Hilfe und wäre nett wenn ihr mir helfen könntet.
Also: m,n sind natürliche Zahlen, so dass jeder Primteiler von m auch ein Primteiler von n ist. Nun soll ich zeigen, dass dann [mm] \delta(mn)=\delta(n) [/mm] ist. wobei [mm] \delta [/mm] hier die Eulersche-Phi-Funktion ist.
Danke schon mal
Gruß Arnbert

        
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EULERsche-Phi-Funktion: Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:54 Mo 20.11.2006
Autor: zahlenspieler

Hallo Arnbert,
fehlt da nicht irgendwas? Nimm z.B. $m=4, n=16$; die erfüllen die Voraussetzungen Deiner Aufgabe. Aber [mm] $\delta(mn)=2^6-2^5 \ne 8=\delta(n)$. [/mm]
Mfg
zahlenspieler

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EULERsche-Phi-Funktion: Korrektur + Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:34 Mo 20.11.2006
Autor: Arnbert

Ja natürlich..danke!
also man soll zu den Voraussetzungen zeigen, dass
[mm] \delta(mn) [/mm] = [mm] m*\delta(n) [/mm] ist.
Hoffe jetzt ist alles klarer und mir kann wer bei dieser Aufgabe helfen und mir erklären wie das hier funktioniert.
Bis bald Arnbert

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EULERsche-Phi-Funktion: Klärung Voraussetzungen/Lösung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:16 Mo 20.11.2006
Autor: zahlenspieler

Hallo Arnbert,
OK, ich hoffe mal, daß die Eulersche [mm] $\varphi$-Funktion [/mm] (für $n >1$) so definiert wurde: [mm]\varphi(n)=\produkt_{p \in \Pi,p \mid n} n\left(1-\bruch{1}{p}\right)[/mm], wobei [mm] $\Pi$ [/mm] die Menge der Primzahlen bezeichnet.

Du schreibst, daß für $m,n [mm] \in \mathbb{n}$ [/mm] vorausgesetzt wird, daß $m$ die gleichen Primteiler hat wie $n$. Ich nehme an, daß gemeint ist: $p |m [mm] \gdw [/mm] p | n$ ($p$ Primzahl). (Beispielsweise stimmt die Formel nicht für $m=3, n=15$, wohl aber für $m=15, n=45$).

Z.z.: [mm] $\delta(mn)=m\delta(N)$, [/mm] wobei [mm] $\delta$ [/mm] die Eulersche [mm] $\varphi$-Funktion [/mm] bezeichnet.

[Jetzt wird's formal vielleicht etwas unsauber :-)] $p$ sei ein Primteiler von $mn$, also folgt $p|m$ oder $p| n$. Was folgt dann aus der Äquivalenz $p | m [mm] \gdw [/mm] p | n$?
Hoffe das hilft
Gruß
zahlenspieler


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EULERsche-Phi-Funktion: Keine Äquivalenz
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:31 Di 21.11.2006
Autor: Denny22

Hallo,

also es gilt:

[mm] $p|m\quad\Longrightarrow\quad [/mm] p|n$

und es muss keine Äquivalenz gelten. Die andere Richtung ist auch uninteressant und man benötigt sie gar nicht. Kurz: So wie die Aufgabe gestellt ist, gilt keine Äquivalenz. Sonst ist der Beweis ok.

Ciao Denny

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EULERsche-Phi-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:39 Di 21.11.2006
Autor: Arnbert

Kannst du bitte noch einmal kurz erläutern warum dann aus p/m [mm] \Rightarrow [/mm] p/n die Behauptung folgt?
MfG Arnbert

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EULERsche-Phi-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:46 Di 21.11.2006
Autor: Denny22

Hallo,

also du schreibst [mm] $\Phi(n\cdot [/mm] m)$ also Produkt wie es von Zahlenspieler beschriben wurde. Unter dem Produkt steht dann: Produkt über

[mm] $p|m\cdot [/mm] n$

also gilt: $p|n$ oder $p|m$. Falls $p|m$, so gilt nach Voraussetzung $p|n$. Also gilt

[mm] $p|m\cdot n\quad\Longrightarrow\quad [/mm] p|n$

somit kannst du anstatt das produkt über $p|nm$ das Produkt über $p|n$ betrachten. Dann formst du das ganze wieder um und erhälst

[mm] $\Phi(nm)=m\cdot\Phi(n)$ [/mm]

Ciao Denny


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EULERsche-Phi-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:58 Di 21.11.2006
Autor: Arnbert

Hey dankeschön;-)
Aber eine Sache interessiert mich jetzt noch...
Für welche Paare m,n aus den natürlichen Zahlen gilt dann
[mm] \delta(mn)=\delta(n), [/mm] wobei ja [mm] \delta [/mm] die EULERsche-Phi-Fkt. ist.
Hier bräuchte ich noch einmal Hilfe.
MfG Arnbert

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EULERsche-Phi-Funktion: \delta$ Multiplikativ
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:24 Mi 22.11.2006
Autor: zahlenspieler

Hallo Arnbert,
[mm] $\delta$ [/mm] ist multiplikativ, d.h. für teilerfremde [mm] $m,n\in \IN$ [/mm] gilt [mm] $\delta(mn)=\delta(m)\delta(n)$. [/mm] Für welche $m$ ist [mm] $\delta(m)=1$? [/mm]
Mfg
zahlenspieler

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