EW/Matrix/Abbildung/Ähnlich < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:35 Do 06.09.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Sind zwei quadratische matrizen ähnlich : A ~ A' dann haben A und A' die gleichen Eigenwerte, und A ist genau dann diagonalisierbar, wenn A' diagonalisierbar ist und andersrum
Schließlich ist die lineare Abbildung [mm] \phi [/mm] genau dann diagonalisierbar, wenn die Matrix [mm] [\phi]_{BB} [/mm] diagonalisierbar ist, für eine (und dann jede) Basis B von V.
Zur Info:
A ~ A' <=> [mm] \exists [/mm] S [mm] \in GL_n (\IK) [/mm] sodass A' = S A [mm] S^{-1} [/mm] |
Hallo,
Ich hab ein Lemma wo man sagt, ja die sachen sind trivial und wichtig, aber wenn ich genauer überlege weiß ich nicht wie ist sie beweisen kann.
> Sind zwei quadratische matrizen ähnlich : A ~ A' dann haben A und A' die gleichen Eigenwerte
Übersetzt sich in:
Ist [mm] \phi [/mm] : V-> V linear und sind B,C Basen von V, dann gilt [mm] [\phi]_{BB} [/mm] ~ [mm] [\phi]_{CC}
[/mm]
[mm] [\phi]_{BB} [/mm] = [mm] (T_{BC})^{-1} [\phi]_{BB} T_{BC}
[/mm]
hatte ein Lemma:
Sei $ [mm] \psi: [/mm] $ V -> W ein linearer Isomorphismus
$ [mm] \phi: [/mm] $ V -> V
$ [mm] \psi \circ \phi \circ \psi^{-1} [/mm] $ : W->W
Ist $ [mm] \lambda [/mm] $ Eigenwert von $ [mm] \phi [/mm] $ <=> $ [mm] \lambda [/mm] $ Eigenwert von $ [mm] \psi \circ \phi \circ \psi^{-1} [/mm] $
Also haben [mm] [\phi]_{CC } [/mm] und [mm] (T_{B C})^{-1} [\phi]_{ BB} T_{BC}
[/mm]
dieselben Eigenwerte. Aber ich will doch die eigenwerte von [mm] [\phi]_{BB} [/mm] wissen?
> und A ist genau dann diagonalisierbar, wenn A' diagonalisierbar ist und andersrum.
Ist klar da die Ähnlichkeit eine Äquivalenzrelation ist und sie insbesondere auch symmetrisch ist.
> Schließlich ist die lineare Abbildung [mm] \phi [/mm] genau dann diagonalisierbar, wenn die Matrix [mm] [\phi]_{BB} [/mm] diagonalisierbar ist, für eine (und dann jede) Basis B von V.
Das ist mir beweistechnisch nicht klar.
LG,
quasimo
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> Sind zwei quadratische matrizen ähnlich : A ~ A' dann
> haben A und A' die gleichen Eigenwerte, und A ist genau
> dann diagonalisierbar, wenn A' diagonalisierbar ist und
> andersrum
Hallo,
seien A, A' ähnlich.
Dann gibt es eine invertierbare Matrix S mit A' = [mm] SAS^{-1}.
[/mm]
A und A' haben dieselben Eigenwerte:
Zu zeigen: [mm] \lambda [/mm] EW von A ==> [mm] \lambda [/mm] EW von A'.
Bew.: sei [mm] \lambda [/mm] EW von A. Dann ist [mm] det(A-\lambda [/mm] E)=0.
Berechne nun [mm] det(A'-\lambda E)=det(SAS^{-1}-S(\lambda E)S^{-1})=det(S(...)S^{-1})=...
[/mm]
Damit hast Du, daß die EW von A' dieselben sind wie von A.
Danach dann noch die umgekehrte Richtung.
A diagonalisierbar ==> A' diagonalisierbar:
Ist Dir klar, wenn ich's recht verstehe.
>
> Schließlich ist die lineare Abbildung [mm]\phi[/mm] genau dann
> diagonalisierbar, wenn die Matrix [mm][\phi]_{BB}[/mm]
> diagonalisierbar ist, für eine (und dann jede) Basis B von
> V.
Zunächst hast Du hier eine
Definition:
[mm] \phi [/mm] heißt diagonalisierbar, wenn es eine Basis B gibt, bzgl derer die Darstellungsmatrix von [mm] \phi [/mm] eine Diagonalmatrix ist.
Die zweite Aussage ist die, daß, sofern für eine Basis B die Matrix [mm] $[\phi]_{BB}$ [/mm] diagonalisierbar ist, die Matrix [mm] $[\phi]_{CC}$ [/mm] für jede Basis C diagonalisierbar ist.
Bew.: Sei [mm] \phi [/mm] diagonalisierbar und sei [mm] [\phi]_B_B=$(T_{B C})^{-1} [\phi]_{ BB} T_{BC}$.
[/mm]
Dann sind [mm] [\phi]_{BB}$ [/mm] und [mm] $[\phi]_{CC}$ [/mm] ähnlich.
Nach dem, was oben gezeigt wurde, hat dies zur Folge, daß sie dieselben Eigenwerte haben, und daß die eine diagonalisierbar ist genau dann, wenn die andere diagonalisierbar ist.
Weiter unten schreibst Du:
> Also haben [mm] $[\phi]_{CC }$ [/mm] und [mm] $(T_{B C})^{-1} [\phi]_{ BB} T_{BC}$
[/mm]
>
> dieselben Eigenwerte. Aber ich will doch die eigenwerte von
> [mm] $[\phi]_{BB}$ [/mm] wissen?
Nein. Es ist einfach so: sofern [mm] [\phi]_{BB} [/mm] überhaupt Eigenwerte hat, hat [mm] [\phi]_{CC} [/mm] dieselben.
Ich hoffe, daß ich Deine Fragen beantworten konnte.
Das direkte Eingehen auf das von Dir Geschriebene war mir nicht möglich.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Fr 07.09.2012 | | Autor: | quasimo |
Danke, dein Beitrag ist für einen Anfänger gold wert, werd ich an Kollegen weitergeben.
>Berechne nun $ [mm] det(A'-\lambda E)=det(SAS^{-1}-S(\lambda E)S^{-1})=det(S(...)S^{-1})=... [/mm] $
[mm] =det(S(A-\lambda E)S^{-1})= [/mm] det(S) * det(A- [mm] \lambda [/mm] E) * [mm] det(S^{-1})= [/mm] det(S)* [mm] det(A-\lambda [/mm] E) * [mm] det(S)^{-1} [/mm] = [mm] det(A\lambda [/mm] - E)
Ist die gleichung [mm] det(SAS^{-1}-S(\lambda E)S^{-1})=det(S(A-\lambda E)S^{-1}) [/mm] eine Anwendung des Distributivgesetztes bei Matrizen?
> Dann noch die umgekehrte Richtung
Sei [mm] \lambda [/mm] Eigenwert von A'. Dann ist det(A' - [mm] \lambda [/mm] E) =0
und dann selbe Umformung wie oben, nur von rechts nach links gelesen
LG,
quasimo
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> Danke, dein Beitrag ist für einen Anfänger gold wert,
> werd ich an Kollegen weitergeben.
>
> >Berechne nun [mm]det(A'-\lambda E)=det(SAS^{-1}-S(\lambda E)S^{-1})=det(S(...)S^{-1})=...[/mm]
>
> [mm]=det(S(A-\lambda E)S^{-1})=[/mm] det(S) * det(A- [mm]\lambda[/mm] E) *
> [mm]det(S^{-1})=[/mm] det(S)* [mm]det(A-\lambda[/mm] E) * [mm]det(S)^{-1}[/mm] =
> [mm]det(A\lambda[/mm] - E)
>
> Ist die gleichung [mm]det(SAS^{-1}-S(\lambda E)S^{-1})=det(S(A-\lambda E)S^{-1})[/mm]
> eine Anwendung des Distributivgesetztes bei Matrizen?
Hallo,
ja, Du kannst schrittweise ausklammern.
>
> > Dann noch die umgekehrte Richtung
> Sei [mm]\lambda[/mm] Eigenwert von A'. Dann ist det(A' - [mm]\lambda[/mm] E)
> =0
> und dann selbe Umformung wie oben, nur von rechts nach
> links gelesen
Ich bin mir ziemlich sicher, daß Du es richtig meinst.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 Fr 07.09.2012 | | Autor: | quasimo |
danke **
LG,
quasimo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Fr 07.09.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo,
Ich hab noch eine frage dazu, die wahrscheinlich trivial ist.;)
Warum gilt:
[mm] \phi: [/mm] V->V
Sei B Basis sodass [mm] [\phi]_{BB} [/mm] = [mm] \pmat{ \lambda_1 & ..&* \\ 0 & \ddots &\\0&..&\lambda_k } [/mm] (obere Dreieckmatrix)
[mm] \delta([\phi]_{BB})= \delta(\phi)
[/mm]
wobei [mm] \delta(\phi).. [/mm] Das Spektrum (=die menge der Eigenwerte von [mm] \phi)
[/mm]
sei [mm] \lambda [/mm] Eigenwert von [mm] \phi
[/mm]
[mm] \exists [/mm] v [mm] \not=0 [/mm] sodass [mm] \phi(v)=\lambda [/mm] v
Sei [mm] \lambda' [/mm] Eigenwert von [mm] [\phi]_{BB}
[/mm]
[mm] \exists [/mm] v' [mm] \not=0 [/mm] sodass [mm] [\phi]_{BB} [/mm] v' = [mm] \lambda' [/mm] v'
LG,
quasimo
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> Hallo,
> Ich hab noch eine frage dazu, die wahrscheinlich trivial
> ist.;)
Hallo,
für mich ist aus den Notizen nicht zu erkennen, an welcher Stelle Dein Problem liegt, ob du hier einen Auschnitt aus einem Beweis zeigst oder was sonst.
> Warum gilt:
> [mm]\phi:[/mm] V->V
> Sei B Basis sodass [mm][\phi]_{BB}[/mm] = [mm]\pmat{ \lambda_1 & ..&* \\
0 & \ddots &\\
0&..&\lambda_k }[/mm]
Wenn man für den endl.-dimensionalen VR V eine lineare Abbildung [mm] \phi [/mm] hat, zu welcher man eine Basis B findet so, daß die Darstellungsmatrix eine obere Dreiecksmatrix ist, dann heißt die Abbildung triangulierbar.
Interessant ist nun, wann es solch eine Basis gibt:
[mm] \phi [/mm] ist triangulierbar genau dann, wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt.
> [mm]\delta([\phi]_{BB})= \delta(\phi)[/mm]
> wobei [mm]\delta(\phi)..[/mm]
> Das Spektrum (=die menge der Eigenwerte von [mm]\phi)[/mm]
Das ist doch bei allen Endomorphismen von endlichdimensionalen VRen der Fall.
Hat mit der Triangulierbarkeit nichts weiter zu tun.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Sa 08.09.2012 | | Autor: | quasimo |
> $ [mm] \delta([\phi]_{BB})= \delta(\phi) [/mm] $
Und warum gilt diese beziehung bei allen Endomorphismen von endlichdimensionalen VRen? Oder ist das eine definition
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> > [mm]\delta([\phi]_{BB})= \delta(\phi)[/mm]
> Und warum gilt diese beziehung bei allen Endomorphismen von
> endlichdimensionalen VRen? Oder ist das eine definition
Hallo,
da steht ja, daß die Eigenwerte der linearen Abbildung auch die ihrer Darstellungsmatrix bzgl B sind.
Hast Du denn die Darstellungsmatrizen überhaupt verstanden?
Sei [mm] \phi [/mm] ein Endomorphismus von V, [mm] B:=(b_1,...,b_n) [/mm] eine Basis von V und [mm] [\phi]_{BB} [/mm] die Darstellungsmatrix.
So. Jetzt sei [mm] \lambda [/mm] ein EW von [mm] \phi [/mm] mit zugehörigem EV v.
Dann ist [mm] \phi(v)=\lambda [/mm] (v).
Dieses v kann man nun schrieben als Linearkombination der [mm] b_i:
[/mm]
[mm] v=a_1_ib_1+a_2_ib_2+...+a_n_ib_n.
[/mm]
Natürlich ist [mm] \phi(a_1_ib_1+a_2_ib_2+...+a_n_ib_n)=\lambda(a_1_ib_1+a_2_ib_2+...+a_n_ib_n)
[/mm]
Die Darstellungsmatrix ist doch nun gerade so gemacht, daß sie für Koordinatenvektoren bzgl B die Bilder unter [mm] \phi [/mm] bzgl. B liefert.
es ist dann also [mm] [\phi]_B_B*\vektor{a_1_i\\a_2_i\\\vdots\\a_n_i}=\lambda \vektor{a_1_i\\a_2_i\\\vdots\\a_n_i}, [/mm] und damit ist [mm] \lambda [/mm] ein EW von [mm] [\phi]_B_B.
[/mm]
LG Angela
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