EW einer Folge aus ZV < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:08 Do 01.07.2010 | | Autor: | skoopa |
| Aufgabe | Sei [mm] \mbox{Q=[0,1]x[0,1]} [/mm] und [mm] \mbox{A\subseteq Q} [/mm] ein Gebiet mit Fläche |A|.
Sei [mm] X_{n} [/mm] , [mm] n\in\IN, [/mm] eine Folge unabhängiger, in [mm] \mbox{Q} [/mm] gleichverteilter Zufallsvariablen und sei [mm] Y_{n}=I_{A}(X_{n}) [/mm] , [mm] n\in\IN.
[/mm]
Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von [mm] S_{m}=(1/m)*\summe_{k=1}^{m}Y_{k} [/mm] , [mm] m\in\IN. [/mm] |
Hallo Leute!
Ich komm bei der Aufgabe irgendwie mal wieder nicht recht weiter. Hier mal was ich bisher habe:
Ich würde als Wahrscheinlichkeitsraum (brauch ich hier überhaupt einen??) [mm] \mbox{(Q, Bor(Q),P)} [/mm] mit P ist die Gleichverteilung wählen.
[mm] E[S_{m}]=E[(1/m)\summe_{k=1}^{m}Y_{k}]=\bruch{1}{m}\summe_{k=1}^{m}E[I_{A}(X_{n})]
[/mm]
Und hier weiß ich jetzt leider nicht mehr so recht weiter. Ich müsste jetzt ja irgendwie die Gleichverteilung reinbringen, weiß allerdings nicht wie...
Oder ist das der falsche Gedanke? Hat mir jemand nen Tipp wies geht?
Außerdem darf ich die letzte Umformung nur machen, falls sich die Unabhängigkeit der [mm] X_{n} [/mm] auf die [mm] Y_{n} [/mm] überträgt. Ich glaube, dass sie das tut, weil:
[mm] P[Y_{1}\in A_{1},... ,Y_{n}\in A_{n}]=P[I_{A}(X_{1})\in A_{1},... ,I_{A}(X_{n})\in A_{n}]=P[I_{A}(X_{1})\in A_{1}]*...*P[I_{A}(X_{n})\in A_{n}] [/mm] , mit [mm] A_{1},... ,A_{n}\in \mbox{Bor(Q)}
[/mm]
Und hier folgt die letzte Gleichheit, weil die [mm] X_{1},... ,X_{n} [/mm] unabhängig sind, also auch die Indikatorfunktionen darüber. Stimmt das?
Also ich bin sehr froh über jegliche Tipps, Korrekturen und Anmerkungen.
Danke schon mal!
Grüße!
skoopa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:39 Fr 02.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Sei [mm]\mbox{Q=[0,1]x[0,1]}[/mm] und [mm]\mbox{A\subseteq Q}[/mm] ein Gebiet
> mit Fläche |A|.
> Sei [mm]X_{n}[/mm] , [mm]n\in\IN,[/mm] eine Folge unabhängiger, in [mm]\mbox{Q}[/mm]
> gleichverteilter Zufallsvariablen und sei
> [mm]Y_{n}=I_{A}(X_{n})[/mm] , [mm]n\in\IN.[/mm]
> Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von
> [mm]S_{m}=(1/m)*\summe_{k=1}^{m}Y_{k}[/mm] , [mm]m\in\IN.[/mm]
> Hallo Leute!
> Ich komm bei der Aufgabe irgendwie mal wieder nicht recht
> weiter. Hier mal was ich bisher habe:
> Ich würde als Wahrscheinlichkeitsraum (brauch ich hier
> überhaupt einen??)
Wo leben Zufallsvariablen?
>[mm]\mbox{(Q, Bor(Q),P)}[/mm] mit P ist die
> Gleichverteilung wählen.
> [mm]E[S_{m}]=E[(1/m)\summe_{k=1}^{m}Y_{k}]=\bruch{1}{m}\summe_{k=1}^{m}E[I_{A}(X_{n})][/mm]
> Und hier weiß ich jetzt leider nicht mehr so recht
> weiter. Ich müsste jetzt ja irgendwie die Gleichverteilung
> reinbringen, weiß allerdings nicht wie...
Wieso fragst Du (Dich) denn nicht, was [mm] E[I_{A}(X_{n})] [/mm] sei und wie man es anders schreiben kann (das weiß man, wenn man den Fokus auf den zugrundeliegenden W-Raum oder den mit Hilfe einer ZV daraus entstandenen Bild-W-Raum lenkt)?
> Oder ist das der falsche Gedanke? Hat mir jemand nen Tipp
> wies geht?
Ja, Definitionen aufschreiben und anwenden.
> Außerdem darf ich die letzte Umformung nur machen, falls
> sich die Unabhängigkeit der [mm]X_{n}[/mm] auf die [mm]Y_{n}[/mm]
> überträgt. Ich glaube, dass sie das tut, weil:
> [mm]P[Y_{1}\in A_{1},... ,Y_{n}\in A_{n}]=P[I_{A}(X_{1})\in A_{1},... ,I_{A}(X_{n})\in A_{n}]=P[I_{A}(X_{1})\in A_{1}]*...*P[I_{A}(X_{n})\in A_{n}][/mm]
> , mit [mm]A_{1},... ,A_{n}\in \mbox{Bor(Q)}[/mm]
> Und hier folgt
> die letzte Gleichheit, weil die [mm]X_{1},... ,X_{n}[/mm]
> unabhängig sind, also auch die Indikatorfunktionen
> darüber. Stimmt das?
...wenn DU ein bischen anders argumentierst als "Die Aussage gilt, weil die Aussage gilt."
Bing mal [mm] I_A [/mm] in [mm] \{I_A(X)\in B\} [/mm] "auf die andere Seite" und wende das dann oben an.
Andere verwenden ein sog. "Blocklemma" zur Begründung der Unabhängikeit in diesem Fall. Hattet Ihr so etwas?
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:32 Fr 02.07.2010 | | Autor: | skoopa |
Hey gfm!
Vielen Dank schonmal für die Mühe! Ich brauch glaub dummerweise doch mehr Hilfe...
Ich glaub ich hab mir viel zu wenig Gedanken bisher gemacht über das was da so vor mir liegt. Deshalb hole ich jetzt eventuell etwas weiter aus.
> > Sei [mm]\mbox{Q=[0,1]x[0,1]}[/mm] und [mm]\mbox{A\subseteq Q}[/mm] ein Gebiet
> > mit Fläche |A|.
> > Sei [mm]X_{n}[/mm] , [mm]n\in\IN,[/mm] eine Folge unabhängiger, in
> [mm]\mbox{Q}[/mm]
> > gleichverteilter Zufallsvariablen und sei
> > [mm]Y_{n}=I_{A}(X_{n})[/mm] , [mm]n\in\IN.[/mm]
> > Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von
> > [mm]S_{m}=(1/m)*\summe_{k=1}^{m}Y_{k}[/mm] , [mm]m\in\IN.[/mm]
> > Hallo Leute!
> > Ich komm bei der Aufgabe irgendwie mal wieder nicht
> recht
> > weiter. Hier mal was ich bisher habe:
> > Ich würde als Wahrscheinlichkeitsraum (brauch ich hier
> > überhaupt einen??)
>
> Wo leben Zufallsvariablen?
Eine Zufallsvariable bildet von einem W-Raum auf einen messbaren Raum ab.
Meine Frage war viel mehr, ob ich hier einen konkreten W-Raum angeben muss. Aber das muss ich ja, wenn ich mit den ZVen hantieren will.
Macht der W-Raum dann so Sinn, wie ich ihn hatte?
Und wenn ich nichts näheres weiß über eine ZV nehme ich dann einfach an, dass sie auf [mm] (\IR, [/mm] Bor(IR)) abbildet?
>
> >[mm]\mbox{(Q, Bor(Q),P)}[/mm] mit P ist die
> > Gleichverteilung wählen.
> >
> [mm]E[S_{m}]=E[(1/m)\summe_{k=1}^{m}Y_{k}]=\bruch{1}{m}\summe_{k=1}^{m}E[I_{A}(X_{n})][/mm]
> > Und hier weiß ich jetzt leider nicht mehr so recht
> > weiter. Ich müsste jetzt ja irgendwie die Gleichverteilung
> > reinbringen, weiß allerdings nicht wie...
>
> Wieso fragst Du (Dich) denn nicht, was [mm]E[I_{A}(X_{n})][/mm] sei
> und wie man es anders schreiben kann (das weiß man, wenn
> man den Fokus auf den zugrundeliegenden W-Raum oder den mit
> Hilfe einer ZV daraus entstandenen Bild-W-Raum lenkt)?
>
Naja ich frag mich ja, was [mm] E[I_{A}(X_{n})] [/mm] ist. Also, wie kann ich das umschreiben?
Funktioniert das folgendermaßen?
[mm] E[I_{A}(X_{n})]=\integral_{\Omega}^{}{I_{A}(X_{k}(t))dP(t)}=\integral_{\IR}^{}{I_{A}(s)f_{X_{k}}(s)ds} [/mm] , mit [mm] f_{X_{k}} [/mm] Dichte von [mm] X_{k}
[/mm]
> > Oder ist das der falsche Gedanke? Hat mir jemand nen Tipp
> > wies geht?
>
> Ja, Definitionen aufschreiben und anwenden.
>
> > Außerdem darf ich die letzte Umformung nur machen, falls
> > sich die Unabhängigkeit der [mm]X_{n}[/mm] auf die [mm]Y_{n}[/mm]
> > überträgt. Ich glaube, dass sie das tut, weil:
> > [mm]P[Y_{1}\in A_{1},... ,Y_{n}\in A_{n}]=P[I_{A}(X_{1})\in A_{1},... ,I_{A}(X_{n})\in A_{n}]=P[I_{A}(X_{1})\in A_{1}]*...*P[I_{A}(X_{n})\in A_{n}][/mm]
> > , mit [mm]A_{1},... ,A_{n}\in \mbox{Bor(Q)}[/mm]
> > Und hier
> folgt
> > die letzte Gleichheit, weil die [mm]X_{1},... ,X_{n}[/mm]
> > unabhängig sind, also auch die Indikatorfunktionen
> > darüber. Stimmt das?
>
> ...wenn DU ein bischen anders argumentierst als "Die
> Aussage gilt, weil die Aussage gilt."
>
>
> Bing mal [mm]I_A[/mm] in [mm]\{I_A(X)\in B\}[/mm] "auf die andere Seite" und
> wende das dann oben an.
Doofe Frage: Wie mach ich das?
Es ist ja:
[mm] I_{A}(X)=\begin{cases} 0, & X\not\in A \\ 1, & X\in A \end{cases}
[/mm]
Also [mm] I_{A}(X)\in [/mm] {0,1}. D.h. [mm] I_{A}(X)\in [/mm] B , falls {0,1} [mm] \in [/mm] B ????
(das kommt mir spanisch vor...)
>
> Andere verwenden ein sog. "Blocklemma" zur Begründung der
> Unabhängikeit in diesem Fall. Hattet Ihr so etwas?
Nein das Blocklemma ist mir leider nicht bekannt. Haben leider in der Vorlesung keinerlei Maß-oder Integrationstheorie gemacht...
Zu dieser ganzen EW-Berechnerei müsste ich doch eigentlich erst noch untersuchen, ob der EW von meinen ZVen überhaupt existiert, oder?
Oder kann ich irgendwoher schnell sehen, dass das alles wohldefiniert ist??
Vielen Dank schon- und nochmal!
Gruß!
skoopa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 Fr 02.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Ich glaub ich hab mir viel zu wenig Gedanken bisher
> gemacht über das was da so vor mir liegt. Deshalb hole ich
Genau richtig. Was bedeutet das genau, was man in der Aufgabe von mir will? Was sind die relevanten Definitionen und Sätze dazu? Wie würde ich es einem anderen erklären? So mach ich das immer.
> Eine Zufallsvariable bildet von einem W-Raum auf einen
> messbaren Raum ab.
> Meine Frage war viel mehr, ob ich hier einen konkreten
> W-Raum angeben muss. Aber das muss ich ja, wenn ich mit den
> ZVen hantieren will.
> Macht der W-Raum dann so Sinn, wie ich ihn hatte?
Ja genau. Nur P würde ich noch konkretisieren:
[mm] \Omega=[0,1]^2
[/mm]
[mm] \mathcal{A}=\mathcal{B}([0,1]^2)
[/mm]
[mm] P=\lambda^2|_{[0,1]^2}, [/mm]
also das auf [mm] \Omega [/mm] eingeschränkte Lebesgue-Maß. Damit ist dann klar das Wahrscheinlichkeiten über die Integration auf [mm] [0,1]^2 [/mm] ausgerechnet werden können.
> Und wenn ich nichts näheres weiß über eine ZV nehme ich
> dann einfach an, dass sie auf [mm](\IR,[/mm] Bor(IR)) abbildet?
In den meisten Problemstellung ist eine ZV X eine Abbildung aus einem im Allgemeinen unbekannten W-Raum [mm] W:=(\Omega,\mathcal{A},P) [/mm] in einen Meßraum [mm] (E,\mathcal{B}), [/mm] wobei E meistens [mm] \IN, \IZ [/mm] oder [mm] \IR [/mm] oder cartesiche Produkte mit der entsprechenden Sigmaalgebra davon ist. Darüberhinaus ist das Bildmaß [mm] P_X(B):=P(X^{-1}(B)) [/mm] konkret als z.B. über die Verteilungsfunktion oder die entsprechende Dichte (wenn Sie existiert) gegeben. Dann braucht man W für die konkrete Anwendung nicht wirklich. Nur in der Entwicklung der Theorie ist das Konzept eine zugrundeliegenden W-Raums sehtr hilfreich und manchmal kann man ihn für hilfreiche allgemeine Umformungen nutzen, muß man aber nicht.
Die konkrete Angabe der Verteilung macht aus deinem Meßraum ein W-Raum in dem dann konkret gerechnet werden kann.
> Naja ich frag mich ja, was [mm]E[I_{A}(X_{n})][/mm] ist. Also, wie
> kann ich das umschreiben?
> Funktioniert das folgendermaßen?
>
> [mm]E[I_{A}(X_{n})]=\integral_{\Omega}^{}{I_{A}(X_{k}(t))dP(t)}=\integral_{\IR}^{}{I_{A}(s)f_{X_{k}}(s)ds}[/mm]
> , mit [mm]f_{X_{k}}[/mm] Dichte von [mm]X_{k}[/mm]
>
> > > Oder ist das der falsche Gedanke? Hat mir jemand nen Tipp
Das ist genau richtig. Nur die Dichte brauchst Du nicht. Sie muss ja auch noch nicht mal existieren:
[mm] E[I_{A}(X_{n})]=\integral_{\Omega}I_{A}(X_{n}(\omega))dP(\omega)=\integral_{\Omega}I_{X_{n}\in A}(\omega))dP(\omega)
[/mm]
[mm] =P(X_{n}\in [/mm] A)=|A|
Hier siehst Du wie die Kenntnis des Konzepts des zugrunde liegenden allgemeinen W-Raums und die allgemeinen Umformungen, die man dort machen kann, einem konkret helfen können.
> > Bing mal [mm]I_A[/mm] in [mm]\{I_A(X)\in B\}[/mm] "auf die andere Seite" und
> > wende das dann oben an.
>
> Doofe Frage: Wie mach ich das?
[mm] \{I_A(X)\in B\}=\{X\in I_A^{-1}(B)\}
[/mm]
> Zu dieser ganzen EW-Berechnerei müsste ich doch
> eigentlich erst noch untersuchen, ob der EW von meinen ZVen
> überhaupt existiert, oder?
> Oder kann ich irgendwoher schnell sehen, dass das alles
> wohldefiniert ist??
Die [mm] X_n [/mm] sollen ja eine Gleichverteilung auf dem Quadrat [mm] [0,1]^2 [/mm] haben. Der Erwartungswert [mm] \integral_0^1\integral_0^1xdxdy [/mm] existiert.
LG
gfm
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