EW einer Linearen Funktion < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Di 24.03.2009 | | Autor: | juso |
| Aufgabe | | Es sei V ein dreidimensionaler reeller Vektorraum mit Basis [mm] (v_{1}, v_{2}, v_{3}) [/mm] und [mm] f:V\toV \to V\toV [/mm] die lineare Funktion mit [mm] f(av_{1}+bv_{2}+cv_{3})=(-a+b)v_{1}+(2a-b)v_{2}+(a+b+2c)v_{3} [/mm] (wobei a, b, c reelle Zahlen sind). Berechnen Sie alle Eigenwerte und Eigenräume von f. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Steh grade voll an wie ich das lös... Als erstes müsst ich natürlich die Matrix der Funktion finden oder? Nur wie?
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Hallo juso und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Es sei V ein dreidimensionaler reeller Vektorraum mit Basis
> [mm](v_{1}, v_{2}, v_{3})[/mm] und [mm]f:V\toV \to V\toV[/mm] die lineare
> Funktion mit
> [mm]f(av_{1}+bv_{2}+cv_{3})=(-a+b)v_{1}+(2a-b)v_{2}+(a+b+2c)v_{3}[/mm]
> (wobei a, b, c reelle Zahlen sind). Berechnen Sie alle
> Eigenwerte und Eigenräume von f.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Steh grade voll an wie ich das lös... Als erstes müsst ich
> natürlich die Matrix der Funktion finden oder?
Jo, das würde ich auch sagen
> Nur wie?
Bestimme die Bilder der Basisvektoren: [mm] $f(v_1)=f(1\cdot{}v_1+0\cdot{}v_2+0\cdot{}v_3)=...$
[/mm]
Und für die Bilder der anderen beiden Basisvektoren analog.
Wie bestimmt man aus den Bildern der Basisvektoren die Abbildungsmatrix?
Stichwort: LK der Basis, Koeffizienten als Spalten ...
Geht's damit weiter?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Di 24.03.2009 | | Autor: | juso |
Hmm so dass ich dann [mm] M(f,\underline{v})=\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 &2 } [/mm] bekomm? Kannst mir vielleicht noch bisschen erklären wieso du da für a=1 und b,c=0 setzt für z.B. [mm] v_{1}?
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Hmm so dass ich dann [mm]M(f,\underline{v})=\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 &2 }[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das sieht gut aus!
> bekomm? Kannst mir vielleicht noch bisschen erklären wieso
> du da für a=1 und b,c=0 setzt für z.B. [mm]v_{1}?[/mm]
Na, was hast du denn gegeben?
Die Abbildungsvorschrift [mm] $f(a\cdot{}v_1+b\cdot{}v_2+c\cdot{}v_3)=$blabla
[/mm]
Das habe ich benutzt, mit b=c=0 und a=1 hat man dann genau das Bild des ersten Basisvektors ...
LG
schachuzipus
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