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Folgende Aufgabe stolperte mir bei meiner Nachhilfsschülerin über den Weg:
Zeigen Sie, dass für jede positive natürliche Zahl n positive natürliche Zahlen a,b,c,d existieren für die gilt:
(a²+b²)-(c²+d²)=n
Ich habe mittlerweile einiges elementares geschafft. Z.B. ist folgendes schonmal simpel:
(a²-c²)+(b²-d²)=n
Betrachte u [mm] \in \mathbb{N} [/mm] ungerade und [mm] \geq [/mm] 3. Dann gilt:
(k²-l²)=u für ein k und ein l aus [mm] \mathbb{N}.
[/mm]
Beweis: Sei z aus N. Dann ist: (z+1)²-z²=2z+1. Setze z=(u-1)/2 und l=z und k=z+1 dann folgt die Behauptung.
Genauso trivial ist zu zeigen, dass sich jede durch 4 teilbare Zahl [mm] \geq [/mm] 8 durch die Differenz zweier Quadrate darstellen lässt.
Also wissen wir, dass wir beliebige Summen aus Elementen die entweder ungerade und grösser 2 sind oder gerade und durch vier teilbar grösser 7.
Dummerweise erwische ich so ja nicht alle Zahlen.
Übrigens war die originalaufgabe die Wahrheit dieser Aussage zu überpruüfen. Von dieser bin ich mittlerweile überzeugt.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=8607
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:28 Mi 10.11.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Also fehlen Dir noch gerade 1,2,4,6?
Dann setz´ die doch einfach aus dem Zusammen, was Du schon hast.
1 kannst Du aus 8-7 machen, 2 aus 9-7, 4 aus 11-7, 6 aus 13-7.
Dann musst Du die Darstellungen für $k-7$ mit $k [mm] \in \left{8,9,11,13\right}$ [/mm] nurnoch wieder auf die angegebene Form bringen.
Dann hast Du insgesamt alle natürlichen Zahlen und bist fertig.
(Ich hoffe mal, da liegt bei mir jetzt kein denkfehler vor ^^; )
greetz
AT-Colt
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Nunja mir fehlen schon ein paar Zahlen mehr oder nicht?
ich habe 8,12,16,20.... und 3,5,7,9...
Und natuerlich alle Kombinationen daraus.
Dummerweise aber als SUMME. Nicht als Differenz. Diese Zahlen erhalte ich als Differenz zweier Quadratzahlen. Vielleicht koennte man sallop folgendes Formulieren.
Ich habe alle x [mm] \in \mathbb{N} [/mm] fuer die gilt: [mm] x\in [/mm] A+B wobei [mm] A=\{n\in 4\mathbb{N}+4\} [/mm] und [mm] B=\{z\in 2\mathbb{N}+1\}
[/mm]
Ich habe das aber nicht zeigen koennen fuer [mm] x\in [/mm] A-B. Dann waere ich sicherlich fertig.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:39 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Ancillus!
Für gerades $n$ findet man (zum Beispiel!) immer die Darstellung:
$n= [mm] \left( \frac{n+2}{4}\right)^2 [/mm] + [mm] \left( \frac{n+2}{4}\right)^2 [/mm] - [mm] \left( \frac{n-2}{4}\right)^2 [/mm] - [mm] \left( \frac{n-2}{4}\right)^2$
[/mm]
und für ungerades $n$ (zum Beispiel!) Darstellung:
$n= [mm] \left( \frac{n+1}{2} \right)^2 [/mm] + [mm] 1^2 [/mm] - [mm] \left( \frac{n-1}{2} \right)^2 -1^2$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:42 So 14.11.2004 | | Autor: | Ancillius |
Wunderbar. Diese Darstellung löst mein Problem.
Vielen Dank.
Bis jetzt konnte ich nur alle Zahlen ab 5 darststellen und die 3. Mir fehlten bei meinen Ansätzen noch 1,2 und 4.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:30 So 14.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Ancillus!
Ich hoffe ich habe mich nicht verrechnet:
$4= [mm] 4^2+5^2-6^2-1^2$
[/mm]
$2= [mm] 6^2+8^2-7^2-7^2 [/mm] = [mm] 7^2+9^2-8^2-8^2$
[/mm]
[mm] $1=11^2+11^2-15^2-4^2$
[/mm]
Edit: Ich sehe gerade im "Matheboard", dass du daran gar nicht interessiert warst. Schade.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:47 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Ancillius |
Hallo Stefan
Nein ich war nicht in der lage eine allgemeine Darstellung (so wie du sie mir geliefert hast) für diese Zahlen darzustellen.
Ich wollte eigentlich nur danke sagen.
Gruss
Nils
Interessant waere noch herauszufinden, wie viele Darstellungen der geforderten From es gibt.
Eindeutigkeit ist mit einem Gegenbeispiel widerlegt. (Das habe ich schon konstruiert. Es ist nicht Eindeutig.)
Leider habe ich keine Ahnung wie ich das überprüfen soll.
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