E(X) und Var(X) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] Y_1, Y_2, [/mm] ... unabhängig, identisch verteilt, sei n unabhängig von [mm] Y_1, Y_2, [/mm] ... und
sei n [mm] Poiss( \alpha) [/mm] verteilt. De fniere
X := [mm] \summe_{i=1}^{n}Y_i
[/mm]
Berechne E(X) und Var(X). |
Hallo,
Mein Ansatz:
[mm] E(X)=E(\summe_{i=1}^{n}Y_i)=\summe_{i=1}^{n}E(Y_i) [/mm] (kann ich ja machen, da die $ [mm] Y_i [/mm] $ unabhängig sind.)
Wie geht es jetzt weiter? Was bedeutet es, dass meine Laufvariable n eine (Poiss-)Verteilung hat???
Ciao
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> Hi Mathestudi,
>
> schonmal die Wikipedia/ein Buch/Google/etc nach
> ![[]](/images/popup.gif) Poisson Verteilung
> durchsucht? Hilft oft wahre Wunder. 
>
> Da steht dann zB, welchen Erwartungswert eine einzelne
> poissonverteilte ZV hat. Und da bei dir ja alle identisch
> Verteilt sind, also [mm]Y_i[/mm] s alle denselben Parameter [mm]\lambda[/mm]
> haben...
>
> Lg walde
Hallo Walde,
ich weiß wie der Erwartungswert und die Varianz einer poissonverteilten Zufallsvariable aussieht.
Nur verstehe ich nicht was es bedeutet, dass meine Laufvariable ("n") so eine Verteilung hat.
Geht die Summe nun bis n oder nicht? Kommt nach der 2 die 3 (:-D )?
Dass eine Laufvariable eine Verteilung hat, hatten wir bis jetzt noch nicht.
Ciao
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 Do 12.01.2012 | | Autor: | Walde |
Ah, ok, dann hatte ich die Frage falsch gelesen/verstanden. Sorry, da bin ich im Moment auch überfragt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 Do 12.01.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
schau mal hier, Theorem 8+9.
vg Luis
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> Seien [mm]Y_1, Y_2,[/mm] ... unabhängig, identisch verteilt, sei n
> unabhängig von [mm]Y_1, Y_2,[/mm] ... und
> sei n [mm]Poiss( \alpha)[/mm] verteilt. De fniere
> X := [mm]\summe_{i=1}^{n}Y_i[/mm]
> Berechne E(X) und Var(X).
> Hallo,
>
> Mein Ansatz:
> [mm]E(X)=E(\summe_{i=1}^{n}Y_i)=\summe_{i=1}^{n}E(Y_i)[/mm] (kann
> ich ja machen, da die [mm]Y_i[/mm] unabhängig sind.)
Dazu brauchst du keine Unabhängigkeit, die Linearität des Erwartungswertes gilt allgemein.
> Wie geht es jetzt weiter? Was bedeutet es, dass meine
> Laufvariable n eine (Poiss-)Verteilung hat???
Scheint mir nicht ganz trivial zu sein. Ein Ansatz wäre (möglicherweise geht es auch einfacher):
Definiere Zufallsvariablen [mm] Z_i=1, [/mm] falls [mm] n\ge [/mm] i und [mm] Z_i=0, [/mm] falls n<i.
Dann ist [mm] X=\sum_{i=1}^{\infty}Z_i*Y_i [/mm] und [mm] n=\sum_{i=1}^{\infty}Z_i. [/mm] Mit [mm] \mu=EY_i [/mm] (Existenz vorausgesetzt) folgt dann
[mm] EX=\sum E(Y_i*Z_i)=\sum(EY_i)*(EZ_i)=\mu*\sum EZ_i=\mu*E\sum Z_i=\mu*En=\mu*\alpha
[/mm]
Bei der 2. Gleichung wird benutzt, dass aus der Unabhängigkeit von n und [mm] Y_i [/mm] folgt, dass [mm] Z_i [/mm] und [mm] Y_i [/mm] unabhängig sind.
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>
> Ciao
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