E messbare Menge -> E/F < eps < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei E eine messbare Menge mit der Eigenschaft, dass für jedes x [mm] \in [/mm] E existiert p(x)>0 so dass:
[mm] \forall [/mm] r [mm] \le [/mm] p(x) , |E [mm] \cap B_r(x) [/mm] | [mm] \ge \bruch{1}{2}* |B_r(x)|
[/mm]
[mm] B_r(x) [/mm] bezeichnet den offenen Ball um den Punkt x mit Radius r. Zeigen Sie, dass zu jedem [mm] \epsilon [/mm] >0 existiert eine geschlossene Menge F [mm] \subset [/mm] E mit
a) [mm] |E/F|<\epsilon
[/mm]
b) es gibt ein p > 0 so dass für jedes x [mm] \in [/mm] F,
[mm] \forall [/mm] r [mm] \le [/mm] p , | E [mm] \cap B_r(x) [/mm] | [mm] \ge \bruch{1}{2}|B_r(x)| [/mm]
Anm. zu b): Vorsicht, nun ist p nicht mehr von x abhängig.
(|.| bezeichnet das Lebesgue-Mass) |
Hallo
Wir haben heute a) versucht und sind dabei soweit gekommen:
Wenn wir den Ball in [mm] \IR [/mm] anschauen, ist dies das offene Intervall (x-r,x+r). Nun ist das Mass davon= 2r und das Mass von [mm] B_r(x) [/mm] in [mm] \IR^n [/mm] also [mm] 2^n*r^n. [/mm]
Da
|A [mm] \cap [/mm] B| [mm] \le [/mm] |B| ist also
|E [mm] \cap B_r(x)| \le |B_r(x)| \le 2^n*r^n \le 2^n*p(x)^n
[/mm]
Da E/F = E [mm] \cap F^c [/mm] mit [mm] F^c [/mm] offen und [mm] B_r(x) [/mm] auch offen ist, haben wir uns gedacht, wir zeigen das so:
|E/F|=|E [mm] \cap B_r [/mm] (x)| [mm] \le |B_r [/mm] (x)| [mm] \le 2^n [/mm] * [mm] p(x)^n [/mm] und für p(x)< [mm] \bruch{\wurzel[n]{\epsilon}}{2} [/mm] kriege ich schliesslich |E/F|< [mm] \epsilon [/mm] wie gewünscht.
Fragen:
Was meint ihr zu unserer Lösung? [mm] F^c=B_r(x) [/mm] ? Wie kann ich das begründen?
Habt ihr eventuell noch Tipps, wie wir auf eine Lösung in Abhängigkeit von x kommen? Wir sehen da irgendwie nicht ein, wie wir das Mass von |F/E| in Abhängigkeit von x berechnen können.
Grüsse&Danke fürs Lesen
Pablo
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 So 06.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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