Ebene-Punkt-Abstand HNF < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 Mo 19.09.2011 | | Autor: | Paivren |
Guten Abend!
Heute wurde uns die "Hesse'sche Normalenform" gezeigt und wie man mit ihr Abstände eines Punktes von einer Ebene berechnen kann.
Ich sitze nun schon den ganzen Mittag daran, die Herleitung, die vorgeführt wurde, nachvollziehen zu können, aber irgendwie klappt es nicht.
Die HNF ist ja: [mm] \vec{n_{0}} \* (\vec{x}-\vec{p}) [/mm] = 0
Wie kommt man denn nun darauf, dass man den Abstand der Ebene zu einem Punkt bekommt, wenn ich den Punkt da einsetze?
Da selbst Leute das verstehen, die sonst schlechter in Mathe sind als ich, macht mir das echt zu schaffen!
mfG.
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> Die HNF ist ja: [mm]\vec{n_{0}} \* (\vec{x}-\vec{p})[/mm] = 0
>
> Wie kommt man denn nun darauf, dass man den Abstand der
> Ebene zu einem Punkt bekommt, wenn ich den Punkt da
> einsetze?
Hallo,
schauen wir uns zuerst einmal das Skalarprodukt zweier Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] an:
es ist [mm] \vec{a}*\vec{b}=ab*cos(\angle \vec{a},\vec{b}).
[/mm]
Nun ist [mm] |b*cos(\angle \vec{a},\vec{b}) [/mm] |die Länge der (orthogonalen) Projektion von [mm] \vec{b} [/mm] auf die durch [mm] \vec{a} [/mm] vorgegebene Gerade,
[mm] \vec{b}_{\vec{a}}=b*cos(\angle \vec{a},\vec{b})*\vec{a} [/mm] ist die Projektion von [mm] \vec{b} [/mm] auf die Gerade in Richtung [mm] \vec{a}.
[/mm]
Du kannst es ![[]](/images/popup.gif) hier anschauen und nachlesen.
Wenn nun [mm] \vec{a} [/mm] die Länge 1 hat, ist [mm] |\vec{a}*\vec{b}| [/mm] die Länge der Projektion von [mm] \vec{b} [/mm] auf die Gerade in Richtung [mm] \vec{a}.
[/mm]
Wenn Du das geschluckt und verdaut hast, schauen wir die HNF an.
Wir betrachten eine Ebene mit Normaleneinheitsvektor [mm] \vec{n_0}, [/mm] welche durch den Punkt P mit Ortsvektor [mm] \vec{p} [/mm] geht und interessieren uns für den Abstand eines Punktes Q mit Ortsvektor [mm] \vec{q} [/mm] zu dieser Ebene.
Die Ebenengleichung in HNF ist [mm] \vec{n_0}*(\vec{x}-\vec{p})=0,
[/mm]
<==> [mm] \vec{n_0}*\vec{x}-\vec{n_0}*\vec{p}=0.
[/mm]
Der Betrag von [mm] \vec{n_0}*\vec{p} [/mm] ist die Länge der Projektion von [mm] \vec{p} [/mm] auf die zu E senkrechte Gerade durch den Ursprung. Mach Dir dies anhand einer Skizze, auf welcher man E (als Gerade), P, Q und den Ursprung und die Normale auf E sieht.
Nun setzen wir Q ein und bekommen mit [mm] \vec{n_0}*\vec{q}-\vec{n_0}*\vec{p} [/mm] die Differenz der Projektionen von P und Q auf die Normale, und damit gerade (mit dem Betrag) den Abstand von Q zur Ebene. Guck dazu Deine Skizze an.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:38 Di 15.11.2011 | | Autor: | Paivren |
Danke, gut erklärt, ich habs begriffen - hatte mich neulich wieder damit beschäftigt und Deine Antwort zu Hilfe genommen^^
Schönen Abend!
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