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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:49 Sa 06.08.2005 | | Autor: | juriman |
Ebene y=x
Geade x=-z+1; y=2
Bestimme den Schnittpunkt und den Schnittwinkel.
Habe bei mir in den Unterlagen die Formel
[mm] \vec{r_s} [/mm] = [mm] \vec{r_1} [/mm] + [mm] \bruch{\vec{n}*( \vec{r}- \vec{r_1})}{\vec{n}*\vec{a}} [/mm] * [mm] \vec{a}
[/mm]
Ich brauche dann also die Parameterform der Geraden und die Hess'sche Normalform der Ebene zum einsetzen.
Wie ich auf die Parameterform der Geraden komme ist mir klar:
[mm] \vec{x}= t*\vektor{-1 \\ 0\\ 1}+\vektor{1 \\ 2\\ 0} [/mm] , oder?
Wie komme ich aber auf die Hess'sche Normalform der Ebene?
Wenn es geht auch ruhig eine ausführliche bzw. allgemeinere Antwort. x=y scheint mir zu simpel.
Gruß,
Juri
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:58 Sa 06.08.2005 | | Autor: | d.liang |
mach doch einfach mal so:
y - z = 0
dann kannst du das fast schon ablesen
n = [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ -1 } [/mm] * [mm] \pmat{ x & -0 \\ y & -0 \\ z & -0 }
[/mm]
die normalenform zurückmultipliziert ergibt wieder
y - z = 0
ich weiß nicht wie ich das anders erklären soll, hoffe das ist verständlich
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 So 07.08.2005 | | Autor: | juriman |
Das ist mir leider nicht ganz klar geworden.
Die allgm. Form ist ja [mm] \vec{n}*(\vec{r} [/mm] - [mm] \vec{r_o})=0
[/mm]
ISt jetz bei dir [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ -1 } [/mm] * [mm] \pmat{ x & -0 \\ y & -0 \\ z & -0 } [/mm] ? Oder sollte anstatt dem [mm] \vec{n} [/mm] eine Null hin?
Wie kommst du auf den Vektor [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ -1 } [/mm] ?
Sind die Nullen bei [mm] \pmat{ x & -0 \\ y & -0 \\ z & -0 } [/mm] einfach irgedein Punkt auf der Ebene, also in dem Fall der Nullpunkt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 So 07.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Juriman!
> Die allgm. Form ist ja [mm]\vec{n}*(\vec{r}[/mm] - [mm]\vec{r_o})=0[/mm]
Oder auch: [mm]\vec{n}*\vec{x} - \vec{n}*\vec{a} \ = \ \vec{n}*\vec{x} - d \ = \ 0[/mm] [mm] $\gdw$[/mm] [mm]\vec{n}*\vec{x} \ = \ d[/mm]
> Oder sollte anstatt dem [mm]\vec{n}[/mm] eine Null hin?
Genau!
> Wie kommst du auf den Vektor [mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\ -1 }[/mm] ?
Hier hat sich leider ein Fehler eingeschlichen in der Antwort oben!
Wir haben doch: $E \ : \ y - z \ = \ [mm] \red{0}*x [/mm] + [mm] \blue{1}*y [/mm] + [mm] (\green{-1})*z [/mm] \ = \ 0$
Daraus ergibt sich dann der Normalenvektor: [mm] $\vec{n} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{n_x \\ n_y \\ n_z} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{\red{0} \\ \blue{1} \\ \green{-1}}$ [/mm] !
> Sind die Nullen bei [mm]\pmat{ x & -0 \\ y & -0 \\ z & -0 }[/mm]
> einfach irgendein Punkt auf der Ebene, also in dem Fall der
> Nullpunkt?
In unserem Fall ist der der Wert für $d_$ gleich Null (siehe oben), d.h. der Abstand der Ebene zum Ursprung ist gleich Null. Folglich liegt der Punkt $A \ [mm] \left( \ 0 \ | \ 0 \ | \ 0 \ \right)$ [/mm] auch auf unserer Ebene und es wurde eingesetzt:
$E \ : \ [mm] \vec{n}*\left(\vec{x} - \vec{a}\right) [/mm] \ = \ [mm] \vektor{\red{0} \\ \blue{1} \\ \green{-1}} [/mm] * [mm] \left[\vektor{x \\ y \\ z} - \vektor{0 \\ 0 \\ 0}\right] [/mm] \ = \ [mm] \vektor{\red{0} \\ \blue{1} \\ \green{-1}} [/mm] * [mm] \vektor{x-0 \\ y-0 \\ z-0} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{\red{0} \\ \blue{1} \\ \green{-1}} [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] \ = \ 0$
Aber richtig: Du dürftest auch sonst jeden anderen Punkt der Ebene einsetzen!
Nun alle Klarheiten beseitigt  ... ??
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 So 07.08.2005 | | Autor: | juriman |
Aha!
Und was bedeutet eigentlich [mm] \vec{n} [/mm] bzw. wie kommt man allgemein auf [mm] \vec{n}? [/mm]
Das Beispeil mit der Ebene x=y is wohl doch sehr speziel.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 So 07.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo juriman!
Dieser Vektor [mm] $\vec{n}$ [/mm] ist ein sogenannter Normalenvektor der Ebene, d.h. dieser Vektor steht senkrecht auf unser Ebene.
Aus der allgemeinen Ebenengleichung (= Normalform) erhält man diesen Normalenvektor ziemlich schnell:
Allgemeine Ebenengleichung: [mm] $\red{a}*x [/mm] + [mm] \blue{b}*y [/mm] + [mm] \green{c}*z [/mm] + d \ = \ 0$
[mm] $\Rightarrow$ $\vec{n} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{n_x \\ n_y \\ n_z} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{\red{a} \\ \blue{b} \\ \green{c}}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:42 So 07.08.2005 | | Autor: | juriman |
ok, danke!
Irgedwie sieht es in Büchern komplizierter aus :)
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