Ebene an Punkt spiegeln < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist der Punkt Z(10/8/12) und die
Ebene E: 3x1+4x2+6x3-12=0.
Spiegeln Sie E an Z: |
Hallo!
Meine Frage ist ganz einfach: Wie geh ich vor?
Als Ergebniss soll : 3x1+4x2x6x3-256=0 rauskommen.
Ich habe bereits mehrere Wege probiert. Zum Bsp. aud der Koordinaten-
form eine Parametergleichung gemacht, die gespiegelt und daraus wieder
eine Koordinatenform gemacht.
Oder anders: Eine Lotgerade erstellt ( x= [mm] \vektor{10 \ 8 \ 12}+ \lambda \vektor{3 \ 4 \ 6}, [/mm]
[mm] \lambda [/mm] ausgerechnet, Lotfußpunkt berechnet und anschließend den
Aufpunkt von E' ( [mm] \vektor{-2 \ -8 \ -12 }.
[/mm]
Wenn ich dann den n0 ausrechne (n0=-n skalar a) komme ich im Endeffekt
auf 3x1+4x2+6x3+110=0
Wo ist mein Fehler?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo vektorgeplagter!
Prinzipiell sieht das seht gut aus, was Du gerechnet hast.
Für den Aufpunkt $E'_$ musst Du allerdings [mm] $\lambda' [/mm] \ = \ [mm] \red{+}2$ [/mm] einsetzen; und nicht, wie Du gerechnet hast mit [mm] $\lambda' [/mm] \ = \ [mm] 2*\lambda [/mm] \ = \ 2*(-2) \ = \ -4$ .
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Roadrunner!
Wieso +2?
Mein Rechenweg über die Lotgerade sieht folgendermaßen aus:
l: x=(10/8/12/)+ [mm] \lambda(3/4/6)
[/mm]
dann bringe ich l mit E zum Schnitt
[mm] 3(10+3\lambda)+4(8+4 \lambda)+6(12+6 \lambda)-12=0
[/mm]
das ganze nach [mm] \lambda [/mm] umgestellt :
[mm] \lambda=-2
[/mm]
[mm] \lambda=-2 [/mm] in l eingesetzt ergibt meinen Lotfußpunkt F(4/0/0)
der Vektor vom Aufpunkt der Ebene E zum Lotfußpunkt ergibt sich dann zu EF(-6/-8/-12)
das Ganze dann in die Fomel : 0E'=0E+2*EF eingesetzt ergibt dann meinen
Aufpunkt der Spiegelebene E'(-2/-8/-12)
und zu guter letzt noch n0=-n skalar a = (-3/-4/-6) skalar (-2/-8/-12) macht bei mir 110
und somit E'= 3x1+4x2+6x3+110=0
Wo liegt da mein Denkfehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Di 04.07.2006 | | Autor: | statler |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Wieso +2?
>
> Mein Rechenweg über die Lotgerade sieht folgendermaßen
> aus:
>
> l: x=(10/8/12/)+ [mm]\lambda(3/4/6)[/mm]
>
> dann bringe ich l mit E zum Schnitt
>
> [mm]3(10+3\lambda)+4(8+4 \lambda)+6(12+6 \lambda)-12=0[/mm]
>
> das ganze nach [mm]\lambda[/mm] umgestellt :
>
> [mm]\lambda=-2[/mm]
>
> [mm]\lambda=-2[/mm] in l eingesetzt ergibt meinen Lotfußpunkt
> F(4/0/0)
>
> der Vektor vom Aufpunkt der Ebene E zum Lotfußpunkt ergibt
> sich dann zu EF(-6/-8/-12)
Das ist der falsche Vektor, du brauchst den vom Spiegelpunkt zum Lotfußpunkt! Versuch dir das mal räumlich vorzustellen.
Nachtrag: (10 8 12) - 2(3 4 6) ist ein Pkt. in der gegebenen Ebene, dann ist (10 8 12) + 2(3 4 6) ein Punkt in der gespiegelten Ebene. Wegen der Parallelität ist die gespiegelte Ebene E' von der Form
[mm] 3x_{1} [/mm] + [mm] 4x_{2} [/mm] + [mm] 6x_{3} [/mm] + r = 0
Durch Einsetzen des jetzt bekannten Punktes finde ich r = -256 (hoffentlich)
2. Nachtrag: Noch einfacher ohne Normalenvektor etc. (0 0 2) ist ein Punkt P auf E. Sein Bild P' ist 2Z- P = (20 16 22). Das muß ein Punkt auf E' sein. Dann wie oben weiter r ausrechnen.
> das Ganze dann in die Fomel : 0E'=0E+2*EF eingesetzt ergibt
> dann meinen
> Aufpunkt der Spiegelebene E'(-2/-8/-12)
Folgefehler!
> und zu guter letzt noch n0=-n skalar a = (-3/-4/-6) skalar
> (-2/-8/-12) macht bei mir 110
>
> und somit E'= 3x1+4x2+6x3+110=0
>
> Wo liegt da mein Denkfehler?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Danke!
jetzt komme ich auf das Ergebniss!
zu Nachtrag 1: habe mir die Geschichte mal hinskizziert und da ist mir mein Denkfehler
gleich ins Auge gefallen ( ich glaub das mach ich jetzt öfters mit der Skizze)
zu Nachtrag 2: eine Klasse Möglichkeit das so zu machen.
m.f.G. verktorgeplagter
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