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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 So 29.11.2009 | | Autor: | sieru |
Servus
Ich habe eine Grundebene X, Y und eine Ebene E: 4x + 3y -5z = -10
Nun liegt eine Ebene ABC senkrecht auf der Grundebene.
Die Frage ist nun wie lange ist die Strecke BC.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Meine Überlegung war, diese Aufgabe über die Normalform zu lösen.
Das würde wie folgt außehen:
Eine Normalvektor zur Grundebene wäre: [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}.
[/mm]
Auch kenne ich den Punkt A (7/4/0).
Mit diesen Angabe könne ich die Ebene ABM definieren:
0 = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] * ( [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] - [mm] \vektor{7 \\ 4 \\ 0}) [/mm]
ausgerechne würde dies z = 0 ergeben. Was ist bei dieser Überlegung inkorrekt?
Danke schon mal für die Hilfe.
MfG Sieru
P. S.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo sieru,
und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Ich habe eine Grundebene X, Y und eine Ebene E: 4x + 3y -5z
> = -10
>
> Nun liegt eine Ebene ABC senkrecht auf der Grundebene.
> Die Frage ist nun wie lange ist die Strecke BC.
Es wäre besser, wenn du die originale Aufgabenstellung hier hinschreibst. Denn wie ja im Folgenden klar wird, unterschlägst du uns hier einige Angaben, und du wirst verstehen, dass bei späteren Fragen (wenn sie denn deinerseits kommen sollten) diese Angaben nötig sind.
EDIT: Ich sehe gerade, du hast ein Bild hochgeladen. Dann ist ja alles okay 
> Meine Überlegung war, diese Aufgabe über die Normalform
> zu lösen.
> Das würde wie folgt außehen:
> Eine Normalvektor zur Grundebene wäre: [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}.[/mm]
Das ist richtig.
> Auch kenne ich den Punkt A (7/4/0).
> Mit diesen Angabe könne ich die Ebene ABM definieren:
> 0 = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] * ( [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm] -
> [mm]\vektor{7 \\ 4 \\ 0})[/mm]
Achtung! Deine Ebene ABC steht senkrecht zur Grundebene. Das heißt, dass ein Richtungsvektor von ABC der Normalenvektor der Grundebene ist.
Indem du die Normalenform von ABC mit dem Normalenvektor der Grundebene aufstellst, wird aber eine Ebene parallel zur Grundebene beschrieben (denn sie haben ja dieselben Normalenvektoren).
So geht das also nicht. Wie gesagt, bis jetzt weißt du bloß, dass ein Ortsvektor der Ebene A ist, und ein Richtungsvektor der Normalenvektor der Grundebene, also z.B. [mm] \vektor{0\\0\\1}.
[/mm]
Du brauchst nun noch mehr Angaben.
Grüße,
Stefan
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:30 So 29.11.2009 | | Autor: | sieru |
Hallo steppenhahn
Danke für deine Antwort. Im zweiten Beitrag findest du noch Angaben über die Lage der anderen Ebene.
Leider kann ich dir am Schluß nicht ganz folgen wegen dem Normalvektor.
Ich denke ich würde es am ehesten verstehen, wenn du mir zeigen könntest wie ich die Ebene ABC in der Normalenform definieren könnte.
Danke für deine Unterstützung
MfG
Sieru
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 So 29.11.2009 | | Autor: | sieru |
Ich habe zu dieser Aufgabe noch ein weiteres Anliegen.
Ich möchte die Schnittgerade von der gelben und orangen Ebene berechnen. (gelbe Ebene ist die x-y Grundebene) und die orange Ebene E, in Koordinatenform ausgedrückt: 4x + 3y -5z = -10
Soviel ich weiss müsste nun die gelbe Ebene in Koordinatenform ausgedrückt wie folgt heißen: z = 0
Also wäre dann die Schnittgerade: 4x + 3y = -10.
Nun wäre die Längenbestimmung der Strecke BC nichts anderes als die Abstandbestimmung Gerade - Punkt.
Wir lernten das über das Vektorprodukt und das aufgespannte Parallelogramm.
Zuerst muß ich ein Vektor auf dieser Schnittgerade definieren. Dazu bestimme ich einfach mal zwei Punkte:
Punkt 1 (-4; 2 ;0)
Punkt 2 (2; -6; 0)
Der dazugehörige Vektor: [mm] \vektor{6 \\ -8 \\ 0 }
[/mm]
Strecke Punkt 1 zu C: [mm] \vektor{7 \\ -1 \\ 5 }
[/mm]
Nun bestimme ich die Fläche jenes aufgespannten Parallelogramm mit dem Vektorprodukt.
[mm] \vektor{6 \\ -8 \\ 0 } [/mm] x [mm] \vektor{7 \\ -1 \\ 5 } [/mm] = [mm] \vektor{-40 \\ -30 \\ 50 }
[/mm]
Daraus der Flächeinhalt: [mm] \wurzel{5000}
[/mm]
Die Höhe beträgt = [mm] \bruch{Fläche des Parallelogramms}{Grundseite}
[/mm]
Grundseite Punkt 1 -2 hat eine Länge von: [mm] |\vektor{6 \\ -8 \\ 0 }| [/mm] = 10
Höhe = [mm] \bruch{ \wurzel{5000}}{10} [/mm] = [mm] \wurzel{50}. [/mm] Kann das hinkommen?
Wie könnte ich es einfacher? Die Meinung wäre daß man diese Aufgabe ohne Taschenrechner berechnen würde.
MfG Sieru
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Hallo sieru,
> Ich habe zu dieser Aufgabe noch ein weiteres Anliegen.
> Ich möchte die Schnittgerade von der gelben und orangen
> Ebene berechnen. (gelbe Ebene ist die x-y Grundebene) und
> die orange Ebene E, in Koordinatenform ausgedrückt: 4x +
> 3y -5z = -10
>
> Soviel ich weiss müsste nun die gelbe Ebene in
> Koordinatenform ausgedrückt wie folgt heißen: z = 0
>
> Also wäre dann die Schnittgerade: 4x + 3y = -10.
Das stimmt leider nur indirekt. Durch diese Gleichung wird weiter eine Ebene beschrieben, du könntest zum Beispiel (-4|2|5) einsetzen und die Gleichung wäre immer noch erfüllt; das Problem ist, dass das Gleichungssystem
4x + 3y -5z = -10
z = 0
eine stärkere Bedingung ist als 4x+3y = -10. (Wie ich dir mit dem Beispiel gerade geschildert habe). Um das Problem zu umgehen, kannst du zum Beispiel z = 0 in Parameterform umschreiben:
[mm] $E:\lambda*\vektor{1\\0\\0} [/mm] + [mm] \mu*\vektor{0\\1\\0}$
[/mm]
und nun in die erste Ebene "einsetzen":
[mm] $4*(\lambda [/mm] + 0) + 3*(0 + [mm] \mu) [/mm] - 5*(0+0) = -10$
[mm] $\Rightarrow \mu [/mm] = [mm] \frac{-10-4*\lambda}{3}$,
[/mm]
diese Abhängigkeit kannst du nun in e einsetzen:
[mm] $g:\lambda*\vektor{1\\0\\0} [/mm] + [mm] \frac{-10-4*\lambda}{3}*\vektor{0\\1\\0} [/mm] = [mm] \vektor{-4\\2\\0} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{3\\-4\\0}$
[/mm]
Und damit hast du deine "echte" Schnittgerade (Bedenke: Im [mm] R^{3}, [/mm] also im Raum, können Geraden nur durch solch eine Parameterschreibweise angegeben werden!)
> Nun wäre die Längenbestimmung der Strecke BC nichts
> anderes als die Abstandbestimmung Gerade - Punkt.
> Wir lernten das über das Vektorprodukt und das
> aufgespannte Parallelogramm.
Das müsste hinhauen.
> Zuerst muß ich ein Vektor auf dieser Schnittgerade
> definieren. Dazu bestimme ich einfach mal zwei Punkte:
>
> Punkt 1 (-4; 2 ;0)
> Punkt 2 (2; -6; 0)
Trotz der obigen "falschen" Geradengleichung sind deine Punkte richtig, da du die Bedingung z = 0 trotzdem in deine Punkte mit aufgenommen hast, obwohl die Gleichung sie nicht vorgeschrieben hat.
> Der dazugehörige Vektor: [mm]\vektor{6 \\ -8 \\ 0 }[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Strecke Punkt 1 zu C: [mm]\vektor{7 \\ -1 \\ 5 }[/mm]
>
> Nun bestimme ich die Fläche jenes aufgespannten
> Parallelogramm mit dem Vektorprodukt.
>
> [mm]\vektor{6 \\ -8 \\ 0 }[/mm] x [mm]\vektor{7 \\ -1 \\ 5 }[/mm] =
> [mm]\vektor{-40 \\ -30 \\ 50 }[/mm]
> Daraus der Flächeinhalt:
> [mm]\wurzel{5000}[/mm]
>
> Die Höhe beträgt = [mm]\bruch{Fläche des Parallelogramms}{Grundseite}[/mm]
>
> Grundseite Punkt 1 -2 hat eine Länge von: [mm]|\vektor{6 \\ -8 \\ 0 }|[/mm]
> = 10
>
> Höhe = [mm]\bruch{ \wurzel{5000}}{10}[/mm] = [mm]\wurzel{50}.[/mm] Kann das
> hinkommen?
> Wie könnte ich es einfacher? Die Meinung wäre daß man
> diese Aufgabe ohne Taschenrechner berechnen würde.
Deine Rechnung stimmt (und ich finde das unglaublich und toll zugleich ).
Naja, jetzt hast du ja eigentlich deine Gerade
[mm] $g:\vektor{-4\\2\\0} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{3\\-4\\0}$
[/mm]
(Die kannst du auch mit deiner Methode oben aus den beiden Punkten "herstellen").
Und du hast den Punkt C(3|1|5). Eine kurze Abstandsberechnung Gerade-Punkt geht jetzt so:
--> Konstruiere Ebene in Koordinatenform, die senkrecht auf g steht (Also ist der Richtungsvektor von g Normalenvektor der Ebene!), und durch C geht:
$3*x - 4*y = 9 - 4 = 5$
(Die rechte Seite berechnet man, indem man einfach C in die linke Seite einsetzt; C soll ja auf der Ebene liegen, also muss die Gleichung beim Einsetzen von C erfüllt sein).
Nun schaust du, wo die Gerade die Ebene schneidet, indem du die Gerade in die Ebene einsetzt:
[mm] $3*(-4+3*\lambda) [/mm] - [mm] 4*(2-4*\lambda) [/mm] = 5 [mm] \Rightarrow \lambda [/mm] = 1$
Also schneidet die Gerade die Ebene in [mm] $\vektor{-4\\2\\0} [/mm] + [mm] 1*\vektor{3\\-4\\0} [/mm] = [mm] \vektor{-1\\-2\\0}$ [/mm] (ausgerechneten [mm] \lambda-Wert [/mm] in die Gerade einsetzen).
Dieser errechnete Punkt [mm] \vektor{-1\\-2\\0} [/mm] ist das Lot von C auf die Gerade g, und du kannst nun leicht ausrechnen, dass der entsprechende Richtungsvektor von C zu [mm] \vektor{-1\\-2\\0} [/mm] die Länge [mm] \sqrt{50} [/mm] hat.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Di 01.12.2009 | | Autor: | sieru |
Hallo steppenhahn
Dank für deine Bemühungen und Hilfe.
In diesem Schritt habe ich noch nicht ganz den Durchblick.
> [mm][mm] g:\lambda*\vektor{1\\0\\0} [/mm] + [mm] \frac{-10-4*\lambda}{3}*\vektor{0\\1\\0} [/mm] =
[mm] \lambda*\vektor{1\\0\\0} [/mm] + [mm] (-10-4*\lambda) [/mm] * [mm] \vektor{0\\3\\0} [/mm] = [mm] \vektor{1\\-30-12\lambda\\0} [/mm] = [mm] \vektor{1\\-30\\0} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{0\\-12\\0}
[/mm]
Was ist an dieser Überlegung nicht so wie es sein sollte?
MFG Sieru
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Hallo sieru,
> Hallo steppenhahn
>
> Dank für deine Bemühungen und Hilfe.
> In diesem Schritt habe ich noch nicht ganz den
> Durchblick.
>
>
> > [mm][mm]g:\lambda*\vektor{1\\0\\0}[/mm] + [mm]\frac{-10-4*\lambda}{3}*\vektor{0\\1\\0}[/mm] =
[mm]\lambda*\vektor{1\\0\\0}[/mm] + [mm](-10-4*\lambda)[/mm] * [mm]\vektor{0\\3\\0}[/mm] = [mm]\vektor{1\\-30-12\lambda\\0}[/mm] = [mm]\vektor{1\\-30\\0}[/mm] + [mm]\lambda*\vektor{0\\-12\\0}[/mm]
>Was ist an dieser Überlegung nicht so wie es sein sollte?
Hier muss stehen:
[mm]\lambda*\vektor{1\\0\\0} + (-10-4*\lambda) * \vektor{0\\3\\0} = \vektor{\red{\lambda}\\-30-12\lambda\\0} = \vektor{\red{0}\\-30\\0} + \lambda*\vektor{\red{1} \\ -12\\0}[/mm]
>MFG Sieru
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:49 Di 01.12.2009 | | Autor: | sieru |
Hallo MathePower
Danke, nun seh ich's
MFG Sieru
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Mo 30.11.2009 | | Autor: | sieru |
Servus
Ich möchte gerne nochmals auf die Frage zurückkommen wie ich die graue Ebene in der Normalebenen Form angeben kann.
Kann ich einfach einen Vektor von der Ebene E und W bestimmen?
Vektor der Ebene E: [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 0}
[/mm]
Vektor der Ebene W: [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ \bruch{13}{5}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 5 \\ 13}.
[/mm]
[mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 0} [/mm] x [mm] \vektor{0 \\ 5 \\ 13} [/mm] = [mm] \vektor{39 \\ -26 \\ 10}
[/mm]
Punkt C(3/1/5) einsetzen
Graue Ebene: [mm] \vektor{39 \\ -26 \\ 10 } [/mm] * [mm] (\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] - [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 5}) [/mm] = 0
Wäre das so richtig? Mir ist schon klar, dass es auf dieses Problem bezogen nicht unbedingt sinn macht.
Danke, MFG Sieru
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo!
> Servus
>
> Ich möchte gerne nochmals auf die Frage zurückkommen wie
> ich die graue Ebene in der Normalebenen Form angeben kann.
>
> Kann ich einfach einen Vektor von der Ebene E und W
> bestimmen?
>
> Vektor der Ebene E: [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 0}[/mm]
> Vektor der Ebene
> W: [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ \bruch{13}{5}}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 5 \\ 13}.[/mm]
Das, was du hier machst, kann leider nicht zum Ziel führen.
Zum Einen weißt du doch gar nicht, ob der Vektor [mm] \vektor{2\\3\\0} [/mm] wirklich in deiner Ebene ABC liegt. Und bedenke: Du rechnest hier Ortsvektoren aus! Zwar ist dein angegeber Ortsvektor ein Ortsvektor der Ebene W, aber du darfst ihn doch nicht einfach mit 5 erweitern! Das darfst du nur mit Richtungsvektoren machen, und auch nur in Parameterformen von Geraden und Ebenen!
Stell dir dochmal die Ebene x+y = 2 vor. Der Vektor [mm] \vektor{1\\1\\0} [/mm] liegt drin, aber der Vektor [mm] \vektor{2\\2\\0} [/mm] offensichtlich nicht mehr, obwohl ich nur den Ortsvektor mit 2 erweitert habe. Aber damit ist ja ein völlig anderer Punkt entstanden.
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Nochmal meine Idee zur Ebenenbestimmung ABC:
Da die Ebene ABC senkrecht auf der Grundebene steht, wissen wir, dass einer der Richtungvektoren die Form [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] hat. Überleg dir das!
Dann kennen wir noch die Punkte A und C, daraus können wir mit A-C = [mm] \vektor{4\\3\\-5} [/mm] noch einen Richtungsvektor der Ebene erhalten.
Im Grunde haben wir nun schon eine Ebenengleichung, aber eben in Parameterform:
[mm] $E:\vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{3\\1\\5} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{0\\0\\1} [/mm] + [mm] \mu*vektor{4\\3\\-5}$
[/mm]
Wenn du daraus nun noch eine Koordinatenform bestimmen möchtest, kannst du einfach einen Normalenvektor "raten": Er muss senkrecht zu [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] und [mm] vektor{4\\3\\-5} [/mm] sein, d.h. das Skalarprodukt des Normalenvektors mit beiden Richtungsvektoren muss 0 ergeben. Nun, damit der Normalenvektor zum ersten Vektor senkrecht steht, reicht es, wenn die erste Komponente = 0 ist.
Zum zweiten muss dann nur in der zweiten eine 5 stehen und in der dritten Komponente eine 3, denn 5*3 + 3*(-5) = 0.
Also ein Normalenvektor: [mm] \vektor{0\\5\\3}.
[/mm]
Nun kannst du deine Ebene aufstellen.
Grüße,
Stefan
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