Ebene eines Vektors < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, Ich habe ein Problem mit Ebenen und zwar haben wir gelernt (bitte korrigiert mich wenn es falsch ist), dass, wenn 3 Punkte gegeben sind, diese immer auf einer Ebene liegen müssen!
Sagen wir einfach mal A (-1/2/2)
B (-4/6/3)
C (2/-2/5)
Wir haben eine solche Aufgabe noch nie gemacht aber ich könnte mir vorstellen, dass so etwas in der Klausur vorkommen könnte.
Wie Prüfe ich, wenn ich einen 4. Punkt gegeben habe, ob dieser auf der Ebene liegt?
(ich habe leider keinen Punkt auf den dieses zutrifft.....weiß ja nicht wie es geht)
Würde mich über ne Antwort freuen
Gruß
Aldiimwald
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:35 Mo 22.05.2006 | | Autor: | statler |
Hallo,
verrat doch mal kurz, wie du eine Ebene rechnerisch darstellen kannst. In Parameterform mit Stützvektor und Spannvektoren oder als Koordinatengleichung oder in der Hesseschen Normalform. Mind. eine von den ersten beiden Formen sollte bekannt sein, dann kriegst du sicher auch eine Antwort auf dein Problem.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo,
> Hallo, Ich habe ein Problem mit Ebenen und zwar haben wir
> gelernt (bitte korrigiert mich wenn es falsch ist), dass,
> wenn 3 Punkte gegeben sind, diese immer auf einer Ebene
> liegen müssen!
Stell dir einfach mal vor, wie viele Finger du brauchst, um ein Buch (Ebene) stabil zu halten: 3 Finger, bei 2 Fingern kippt es.
Ebenso steht ein dreibeiniger Tisch auf jedem Untergrund fester als ein vierbeiniger: ein Fuß ist stets "zu kurz" oder "zu lang". 
>
> Sagen wir einfach mal A (-1/2/2)
> B (-4/6/3)
> C (2/-2/5)
>
> Wir haben eine solche Aufgabe noch nie gemacht aber ich
> könnte mir vorstellen, dass so etwas in der Klausur
> vorkommen könnte.
>
> Wie Prüfe ich, wenn ich einen 4. Punkt gegeben habe, ob
> dieser auf der Ebene liegt?
>
Kannst du schon die Ebenengleichung aufstellen, die durch die drei Punkte bestimmt ist?
Wenn der 4. Punkt in der Ebene liegt, dann müssen seine Koordinaten die Ebenengleichung erfüllen.
Also statt [mm] $\vec{x}$ [/mm] in der Gleichung den Ortsvektor des Punktes einsetzen und die Parameter so bestimmen, dass alles passt.
Wenn das nicht möglich ist, liegt der Punkt nicht in der Ebene.
Probier mal [mm] D_1 [/mm] (-7|10|0), sollte drauf liegen, wenn ich mich nicht verrechnet habe.
[mm] D_2 [/mm] (7|10|0) sollte nicht drauf liegen.
> (ich habe leider keinen Punkt auf den dieses
> zutrifft.....weiß ja nicht wie es geht)
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Aldiimwald |
hmmm....das Problem ist dass mein "genialer" Lehrer diese Begriffe nie verwendet, so dass bei uns eigentlich nie jemand weiß was genau wir gerade machen!!!
daher weiß ich nicht was eine Ebenengleichung ist!
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oder meinst du:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{OC} [/mm] + [mm] \lambda \vec{AB} [/mm] + [mm] \mu \vec{CA}
[/mm]
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Hallo Aldiimwald!
> oder meinst du: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vec{OC}[/mm] + [mm]\lambda \vec{AB}[/mm] + [mm]\mu \vec{CA}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ganz genau!
Das ist eine Form einer Ebenengleichung; die sogenannte Parameter-Form.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Aldiimwald,
ich will mal versuchen, das Ganze übersichtlich darzustellen:
> Sagen wir einfach mal A (-1/2/2) mit dem Ortsvektor [mm] \vec{a}
[/mm]
> B (-4/6/3) mit dem Ortsvektor [mm] \vec{b}
[/mm]
> C (2/-2/5) mit dem Ortsvektor [mm] \vec{c}
[/mm]
Diese drei Punkte bilden also eine Ebene:
[mm] $\vec{x} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] r*\overrightarrow{AB} [/mm] + s * [mm] \overrightarrow{AC}$
[/mm]
Wenn nun ein Punkt D auf dieser Ebene liegen soll, müssen seine Koordinaten die Ebenengleichung erfüllen,
das bedeutet, es muss zwei reelle Zahlen r, s geben, so dass gilt:
[mm] $\vec{d} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] r*\overrightarrow{AB} [/mm] + s * [mm] \overrightarrow{AC}$
[/mm]
[mm] $\gdw \vec{d} [/mm] - [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \overrightarrow{AD}= r*\overrightarrow{AB} [/mm] + s * [mm] \overrightarrow{AC}$
[/mm]
die letzte Gleichung kann man auch so beschreiben: der Vektor [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] muss sich aus den beiden anderen Vektoren linear kombinieren lassen oder durch eine Linearkombination beschreiben lassen.
Konkret mit D(-7|10|0):
[mm] $\vektor{-7\\10\\0}-\vektor{-1\\2\\2}=r*(\vektor{-4\\6\\3}-\vektor{-1\\2\\2}) [/mm] + [mm] s*(\vektor{2\\-2\\5}-\vektor{-1\\2\\2})$
[/mm]
Die Komponenten fasst man zusammen und schreibt das Ganze als lineares Gleichungssystem auf:
-6 = r * (-3) + s*3
8 = r * 4 + s *(-4)
-2 = r *1 + s*3
Dieses LGS läßt sich lösen mit r=1 und s=-1 [mm] \Rightarrow [/mm] der Punkt D liegt auf der durch A,B,C bestimmten Ebene.
Hätte man statt dessen den Punkt (7|10|0) geprüft:
[mm] $\vektor{7\\10\\0}-\vektor{-1\\2\\2}=r*(\vektor{-4\\6\\3}-\vektor{-1\\2\\2}) [/mm] + [mm] s*(\vektor{2\\-2\\5}-\vektor{-1\\2\\2})$
[/mm]
8 = r * (-3) + s*3
8 = r * 4 + s *(-4)
-2 = r *1 + s*3
aus den unteren beiden Gleichungen hätte sich wieder r=1 und s=-1 ergeben, weil sich dort ja nichts verändert hat.
Aber die "Probe" mit der ersten Gleichung
8 = -3 -3 wäre nicht aufgegangen [mm] \Rightarrow [/mm] dieser Punkt läge nicht auf der Ebene.
Wird jetzt das Verfahren klar(er)?
Gruß informix
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Wenn ich dich jetzt richtig verstanden habe muss ich also:
[mm] \vektor{-7 \\ 10 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ 5} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{-3 \\ 4 \\ 3} [/mm] + [mm] \mu \vektor{-3 \\ 4 \\ -5}
[/mm]
setzen und dann so [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] anpassen, dass die Formel oben stimmt!?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Herby |
Hi,
ich hab die Vektoren jetzt nicht nachgerechnet, aber der Ansatz stimmt
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Liebe Grüße
Herby
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ich habe das jetzt mal versucht aufzulösen habe aber ein problem!!!
$ [mm] \vektor{-7 \\ 10 \\ 0} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ 5} [/mm] $ + $ [mm] \lambda \vektor{-3 \\ 4 \\ 3} [/mm] $ + $ [mm] \mu \vektor{-3 \\ 4 \\ -5} [/mm] $
und zwar wenn ich für [mm] \lambda [/mm] = 2 einsetze dann komme ich zwar auf die -7 und die 10 aber nicht auf die null....das gleiche wenn [mm] \mu [/mm] = 0 habe ich etwas falsch verstanden oder stimmt der vektor einfach nicht bei mir kämen nämlich
$ [mm] \vektor{-7 \\ 10 \\ 6} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ 5} [/mm] $ + 2 [mm] \vektor{-3 \\ 4 \\ 3} [/mm] $ + 1 [mm] \vektor{-3 \\ 4 \\ -5} [/mm] $ und
$ [mm] \vektor{-7 \\ 10 \\ -2} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ 5} [/mm] $ + 1 [mm] \vektor{-3 \\ 4 \\ 3} [/mm] $ + 2 [mm] \vektor{-3 \\ 4 \\ -5} [/mm] $
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Herby |
Hi,
> ich habe das jetzt mal versucht aufzulösen habe aber ein
> problem!!!
ich auch, denn ich habe deine Ebenengleichung mal nachgerechnet und komme auf andere Werte!
e:= [mm] \overrightarrow{0C}+\gamma \overrightarrow{AC}+\delta \overrightarrow{BC}
[/mm]
[mm] e:=\vektor{2\\-2\\5}+\gamma*\vektor{2-(-1)\\-2-2\\5-2}+\delta*\vektor{-2-4\\-2-6\\5-3}=\vektor{2\\-2\\5}+\gamma*\vektor{3\\-4\\3}+\delta*\vektor{6\\-8\\2}
[/mm]
rechne mal nach, ob ich mich nicht vertan habe 
lg
Herby
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wenn ich ehrlich bin habe ich garkeine ahnung was du da gemacht hast!
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ach jetzt habe ich gesehen was du gemacht hast....du hast andere Vektoren genommen...ich habe
[mm] \vec{OC}; \vec{AB}; \vec{CA}
[/mm]
und du
[mm] \vec{OC}; \vec{AC}; \vec{BC}
[/mm]
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ohh mann jetzt bin ich aber verwirrt....
ich darf nur [mm] \vec{OC}; \vec{AC} \vec{BC} [/mm]
verwenden....ahhh kannst du mal die lösung dazu posten ich hab ein totales brett vorm kopf!!!!
wie soll ich denn jetzt auf [mm] \vektor{-7 \\ 10 \\ 0} [/mm] kommen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Herby |
Hi,
> ohh mann jetzt bin ich aber verwirrt....
>
> ich darf nur [mm]\vec{OC}; \vec{AC} \vec{BC}[/mm]
> verwenden
wenn du mit C anfängst, dann ja, oder du hättest auch B nehmen können, dann würde deine Gleichung [mm] \vec{x}=\overrightarrow{0B}+\gamma*\overrightarrow{AB}+\delta*\overrightarrow{CB} [/mm] lauten.
Frage: wie lautet sie mit A?
> ....ahhh kannst du mal die lösung dazu posten ich
> hab ein totales brett vorm kopf!!!!
> wie soll ich denn jetzt auf [mm]\vektor{-7 \\ 10 \\ 0}[/mm] kommen
mit dieser Gleichung:
[mm] \vektor{-7\\10\\0}=\vektor{2\\-2\\5}+\gamma\cdot{}\vektor{3\\-4\\3}+\delta\cdot{}\vektor{6\\-8\\2}
[/mm]
lg
Herby
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Also gut für A
wäre das dann [mm] \vec{0A} [/mm] , [mm] \vec{BA} [/mm] , [mm] \vec{CA}
[/mm]
das das mit der gleichung geht war mir klar aber wie komme ich jetzt auf die genauen [mm] \mu [/mm] bzw. [mm] \lambda [/mm] werte
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also:
-7 = 2 + [mm] 3\lambda [/mm] + [mm] 6\mu [/mm] (1) => [mm] \bruch{-7}{3} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} \lambda +2\mu [/mm]
10 = -2 [mm] -4\lambda [/mm] - [mm] 8\mu [/mm] (2) => [mm] \bruch{10}{4} [/mm] = [mm] \bruch{-2}{4} [/mm] - [mm] \lambda [/mm] - [mm] 2\mu
[/mm]
0 = 5 + [mm] 3\lambda [/mm] + [mm] 2\mu [/mm] (3)
(1)+(2) =
[mm] \bruch{-7}{3} [/mm] + [mm] \bruch{10}{4} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} \lambda +2\mu [/mm] + [mm] \bruch{-2}{4} [/mm] - [mm] \lambda [/mm] - [mm] 2\mu
[/mm]
dann habe ich aber beide herausgezogen, und kein ergebnis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Herby |
Hi,
das stimmt so nicht
> also:
>
> [mm] -7=\red{2}+3*\lambda+6*\mu [/mm] (1) => [mm]\bruch{-7}{3}[/mm] = [mm]\bruch{2}{3} \lambda +2\mu[/mm]
wo ist denn die 2 von der rechten Seite geblieben und wo kommt das [mm] \bruch{2}{3} [/mm] her?
erst mal auf beiden Seiten -2 und dann durch 3 teilen - versuche es noch einmal
bei den anderen Gleichungen analoger Fehler!
lg
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:28 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Aldiimwald |
ich kann nicht mehr ich bin voll audgebrannt...kann mich kein stück mehr konzentrieren....dann werd ichs für die klausr eben nicht können!!!!
ich habe nur das + zwischen 2/3 und [mm] \lambda [/mm] vergessen....ö. wenn man es ausrechnet steht da 1/6 = 1/6
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Di 23.05.2006 | | Autor: | Herby |
Zusammenfassung:
Hallo,
Wir machen das jetzt noch einmal komplett, denn ich gebe zu, dass es ganz schön schwer ist, wenn man sowieso noch nicht so gut mit etwas zurechtkommt und muss sich dann noch durch verschiedene Links klicken.
Punkte:
A (-1/2/2)
B (-4/6/3)
C (2/-2/5)
Ebenengleichung über Punkt C
E: [mm] \vec{x}=\vec{c}+k*\overrightarrow{AC}+m*\overrightarrow{BC}
[/mm]
E: [mm] \vec{x}=\vektor{2\\-2\\5}+k*\vektor{2-(-1)\\-2-2\\5-2}+m*\vektor{2-(-4)\\-2-6\\5-3}
[/mm]
E: [mm] \vec{x}=\vektor{2\\-2\\5}+k*\vektor{3\\-4\\3}+m*\vektor{6\\-8\\2}
[/mm]
Erläuterung: das da heißt soviel wie: zu dem Punkt X gelange ich, wenn ich bei Punkt C starte und erst k mal in Richtung [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] laufe und danach m mal in Richtung [mm] \overrightarrow{BC}
[/mm]
Du hast am Anfang der Diskussion gesagt, du würdest keinen Punkt auf der Ebene kennen, da du die ganze Sache nicht verstehst.
Jetzt suchen wir uns einmal einen Punkt. Wir nehmen für [mm] k=\green{3} [/mm] und für [mm] m=\blue{2}.
[/mm]
eingesetzt gibt das:
[mm] \vec{x}=\vektor{2\\-2\\5}+\green{3} *\vektor{3\\-4\\3}+\blue{2}*\vektor{6\\-8\\2}
[/mm]
[mm] \vec{x}=\vektor{2\\-2\\5}+\vektor{9\\-12\\9}+\vektor{12\\-16\\4}
[/mm]
[mm] \vec{x}=\vektor{23\\-30\\18}
[/mm]
Damit liegt der Punkt X (23|-30|18) in der Ebene
Jetzt zu dem Vorschlag von Informix mit dem Punkt (-7|10|0)
da geht das anders herum:
[mm] \vektor{-7\\10\\0}=\vektor{2\\-2\\5}+k*\vektor{3\\-4\\3}+m*\vektor{6\\-8\\2}
[/mm]
wir erhalten drei Gleichungen mit zwei Unbekannten
1.Gleichung
-7=2+3*k+6*m (wir subtrahieren 2 und teilen dann durch 3)
-9=3*k+6*m
-3=k+2*m (wir subtrahieren 2*l und bekommen Gleichung 1)
k=-3-2*m
3.Gleichung (die nehmen wir, da die zweite identisch mit der ersten ist)
0 =5+3*k+2*m (wir subtrahieren 5)
-5=3*k+2*m (wir setzen k ein)
-5=3*(-3-2*m)-2*m
-5=-9-6*m-2*m
-5=-9-4*m (wir addieren 9 und teilen duch -4)
4=-4*m
m=-1 (wir setzen m in die erste Gleichung ein)
k=-3-2*m
k=-3-2*(-1)
k=-3+2
k=-1
Die Probe machen wir mit der 2. Gleichung (was wir nicht bräuchten, denn die ist ja identisch mit der ersten, aber der Vollständigkeit halber trotzdem)
10=-2-4*k-8*m
10=-2-4*(-1)-8*(-1)
10=-2+4+8
10=10
Damit hätten wir dann alles ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
Liebe Grüße
Herby
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Fragen dazu sind jederzeit willkommen
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![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
![[sehrverdaechtig]](/images/smileys/sehrverdaechtig.gif "[sehrverdaechtig]"){kind=small}
