Ebene im Abstand x bestimmen < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:08 Do 03.06.2010 | | Autor: | coucou |
| Aufgabe | | Stellen Sie je eine Gleichung der Ebene F1 und F2 auf, die zur Ebene E: -x+6y+z=3 parallel sind und von ihr den Abstand [mm] \wurzel{9,5} [/mm] LE haben. |
Hallo!
Dafür, dass die Ebene F parallel ist, müssen ja nur die Richtungsvektoren kollinear sein. Schreibt man die Ebene in Parameterform lauten zwei mögliche Richtungsvektoren (16/4/-8) und (4/0/4). Man könnte also für eine Ebene einfach (32/8/-16) und (1/0/1) nehmen.
Wie allerdings mache ich das mit dem Abstand?
Ich weiß, wie man den Abstand eines Punktes zu einer Ebene berechnet. Aber wie geht das ganze quasi anders herum?
Danke,
LG,
coucou
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:18 Do 03.06.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du brauchst ja nur irgendeinen Punkt [mm] P(x\y\z), [/mm] der den Abstand 9,5 zur Ebene hat, also kannst du dir zwei Koordinaten de facto aussuchen, und musst nur die dritte Koordinate per Rechnung "anpassen"
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Do 03.06.2010 | | Autor: | coucou |
Hallo!
Ich habe mal versucht, das zu machen.
Also, die Ebenegleichung lautete ja E: -x+6y+z=3
in Parameterform hatte ich [mm] E:x=\vektor{2 \\ 1\\ -1}* [/mm] r* [mm] \vektor{16 \\ 4\\ -8} [/mm] + k * [mm] \vektor{4 \\ 0\\ 4}
[/mm]
Dann habe ich das ganze als drei Gleichungen aufgeschrieben.
x= 2+ 16r - 4k
y= 1+4r
z= -1-8r+4k
Die Ebene soll den Abstand [mm] \wurzel{9,5} [/mm] haben.
Also habe ich mir die x- und y-Koordinate quasi ausgesucht, r und k berechnet und das dann in die dritte Gleichung eingesetzt, um auf z zu kommen.
2+ [mm] \wurzel{9,5}= [/mm] 2+ 16r- 4k
[mm] 1+\wurzel{9,5}= [/mm] 1+ 4r --> r= [mm] \wurzel{9,5}/4
[/mm]
Einsetzen von r in die 1. Gleichung ergibt k= 3* [mm] \wurzel{38}/ [/mm] 8
Einsetzen von r und k in die dritte Gleichung ergibt
z= -1-8* ( [mm] \wurzel{9,5}/4) [/mm] + 4* (3* [mm] \wurzel{38}/8)
[/mm]
z= -2+ [mm] \wurzel{38}/2
[/mm]
Kann das stimmen? Das Ergebnis scheint mit doch sehr komisch. Und wie käme ich auf einen zweiten Punkt für eine weitere Ebenengleichung?
LG,
coucou
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Hallo coucou,
ich verstehe nicht, was Du da rechnest.
Der Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen ist doch eindeutig definiert. Man misst ihn zwischen den Schnittpunkten einer beliebigen Gerade, die beide Ebenen senkrecht schneidet.
Die beiden parallelen Ebenen mit dem angegebenen Abstand liegen spiegelbildlich auf den beiden Seiten der vorgegebenen Ebene.
Wenn Du die Parameterform wählst, dann findest Du einen Aufpunkt der parallelen Ebene(n), wenn Du von einem Punkt der gegebenen Ebene E, z.B. dem gewählten Aufpunkt, in Normalenrichtung die geforderten [mm] \wurzel{9,5}LE [/mm] gehst.
Da, wo Du den Zahlenwert einsetzt, gehört er jedenfalls nicht hin.
Grüße
reverend
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Hallo coucou!
Warum formst Du Deine Ebenengleichung nicht in die HESSEsche Normalform um?
Dann einfach auf der rechten Seiten [mm] $\pm$ [/mm] den gegebenen Abstand rechnen ... fertig.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Do 03.06.2010 | | Autor: | coucou |
Hallo!
Die hessesche Normalenform haben wir nicht besprochen. Nur die ganz normale. Aber es geht doch auch mit der und der Abstandsformel, oder?
Ich habe dann ja
|AP * n|= |QP|*|n|
n kann ich ja aus der Ebenengleichung ablesen = (-1/6/1)
Die Strecke AP wäre doch jetzt bei mir [mm] \wurzel{9,5} [/mm] LE oder? Weil A ja ein beliebiger Punkt der Ebene ist.
Also hätte ich
| [mm] \wurzel{9,5}* [/mm] (-1/6/1)|= |QP|*| (-1/6/1)|
oder?
Wenn das wieder falsch ist, kann du mir vielleicht einen Ansatz verraten? Ich bin gerade ziemlich verwirrt.
LG,
coucou
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Hallo nochmal,
versteh ich auch nicht. Was ist AP, QP, n?
Vielleicht würden die Pfeilchen helfen...
Hier mal, was man eingeben muss, um Linien oder Pfeile über etwas zu bekommen:
[mm] \overline{AP}=[/mm] \overline{AP}
[mm] \overrightarrow{AP}=[/mm] \overrightarrow{AP}
[mm] \vec{n}=[/mm] \vec{n}
Grüße
reverend
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