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| Aufgabe | Gegeben sei ein 3-dim. affiner Raum und eine Ebene E durch die drei nicht kollineraren Punkte A=a(N), b=b(N) und C=c(N).
Zeigen Sie, dass die Ebene durch die Ortsvektormenge a+K(b-a)+K(c-ia) gegeben ist, wobei K die Menge der Multiplikatoren ist. |
Hallo zusammen,
Wiedereinmal ist Mathe-Wochenende angesagt. Ich habe mich mit obiger Aufgabe versucht auseinanderzusetzen und mein Skript diesbezüglich gewältst. Hauptproblem ist, dass ich zu anschaulich denke.
In dieser Aufgabe erkennt man da die aus der analytischen Geometrie bekannte 3-Punkte-Form einer Ebene. Ich fühlte mich natürlich sofort berufen, mit mitteln der analytischen Geometrie vorzugehen.
In dieser Aufgabe läuft es - so denke ich mir zumindest - darauf hinaus, dass man mit den mitteln der affinen Geometrie etwas zeigen soll, was man in der analytischen Geometrie bereits laufend benutzt hat.
In dem Fall der Aufgabe sind die "Vektoren" ja gerade Translationen des ausgezeichneten Ursprungs N.
K, also die Multiplikatormenge, fungiert in diesem Fall als "Skalar" (so wie man es eben auch aus der analytischen Geometrie kennt).
Aus meinem Skript weiß ich, dass ein Multiplikator (oder: spurerhaltender Endomorphismus) k [mm] \in [/mm] K gerade durch einen Vektor a [mm] \not= [/mm] 0 und seinen Bildvektor k(a) eindeutig bestimmt ist.
In meinem Skript fand ich noch eine Zeichnung, um das zu illustrieren. Allerdings verwirrte sie mich noch ein Stück mehr:
[Dateianhang nicht öffentlich]
In dieser Skizze sind a,b zwei nicht parallele Vektoren. Aus der spurerhaldenden Eigenschaft des Multiplikators soll dann folgen: k(n) - k(a) = k(b-a) [mm] \parallel [/mm] b-a.
In meinem Skript wird dann noch unterschieden zwischen dem Fall k(a)=0 (in diesem Fall ist ja k(n) [mm] \parallel [/mm] (b-a) und k(b) [mm] \parallel [/mm] b und demnach für b [mm] \not= [/mm] 0 gerade k(b)=0), also dem fall, dass k der Nullmultiplikator ist und dem Fall k [mm] \not= [/mm] 0.
Soweit so gut.
Ich hab versucht die obige Skizze durch einen Vektor c(N) und eben (c-a) bzw. k(c)(N) und k(c-a) zu ergänzen. Am dieser Stelle verliere ich dann den Überblick.
Von meiner überlegung her, müsste man ja eigentlich an der Spitze des Vektors a(N) gerade die beiden Vektoren (b-a) und (c-a) - bzw. Vielfache davon) anlegen, damit diese dann eine entsprechende Ebene erzeugen. Das "Vielfache" als das ich K(b-a) und K (c-a) interpretiere ist aber gerade eine dazu paralleler Vektor.
Die Frage ist dann natürlich auch wie sich dieses c(N) da in der Skizze sinnvoll plazieren lässt (Ok, die Skizze ist sicher nicht die Lösung, aber für die Anschauung ist das immer eine gute Sache).
Vielleicht würde es ja auch etwas nützen, das alles zunächst einmal für eine Gerade zu machen (weil wenn A,B,C nicht kollinear sind, könnte man ja erstmal oBdA A,B als eine Gerade AB auffassen).
Ich wäre für jede Hilfe mehr als Dankbar.
Namárie,
sagt ein Lary, wo leider zunehmend feststellen muss, dass diese Art der Geometrie nicht das seine ist
P.S.: Dickes sorry, dass das Bild irgendwie so riesig geworden ist, ich versuche es noch kleier zu machen und den Anhang zu ändern!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 Mi 24.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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