Ebene senkrecht zu Vektor < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Di 19.12.2006 | | Autor: | Hing |
hi, ich lerne gerade vektoren und bin an der stelle angekommen an der einem erklärt wird was eine ebene senkrecht zu einem vektor darstellt.
die normale lösung ist ja:
[mm] \overrightarrow{n}*(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r_{1}}) [/mm] = 0
[mm] (\overrightarrow{r} [/mm] ist der laufende punkt und [mm] \overrightarrow{r_{1}} [/mm] der feste punkt)
was ich nicht verstehe ist, wieso die ebene mit nur zwei punkten dargestellt wird? die normale könnte doch kreisförmig in alle richtungen zeigen, zB könnte sie auf der ebene liegen, wäre aber immer noch senkrecht zum r-Vektor.
anscheinend verstehe ich da was falsch- aber was?
danke für eure hilfe!
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Hmh, da vertust du dich.
Das Vektorprodukt [mm] \vec{a}\vec{b} [/mm] ist doch nur dann 0, wenn entweder mindestens einer der beiden Vektoren der Nullvektor ist, oder die beiden aufeinander senkrecht stehen.
Also, wenn du [mm] \vec{b} [/mm] vorgibst, und dann verlangst, daß [mm] $\vec{a}\vec{b}=0$, [/mm] welche Lösung gibt es dann für [mm] \vec{a} [/mm] ? Doch ausschlielich solche [mm] \vec{a}, [/mm] die senkrecht zu [mm] \vec{b} [/mm] sind, sowie [mm] \vec{0}.
[/mm]
Jetzt gegen wir über zur Ebenendarstellung. Die lautet ja
[mm] $\vec{n}*(\vec{r}-\vec{r}')=0$
[/mm]
[mm] \vec{n} [/mm] ist vorgegeben. Aber was ist [mm] $\vec{r}-\vec{r}'$? [/mm] Das sind alle Vektoren, die am Punkt [mm] $\vec{r}'$ [/mm] anfangen, und dann zu einem beliebigen Punkt [mm] \vec{r} [/mm] im Raum zeigen.
Jetzt soll das Skalarprodukt =0 sein. Der Normalenvektor ist vorgegeben. Das heißt, das geht nur dann, wenn [mm] $(\vec{r}-\vec{r}')$ [/mm] senkrecht zum Normalenvektor ist, oder wenn das der Nullvektor ist.
Das heißt, jetzt betrachtet man nur noch die [mm] \vec{r} [/mm] , deren Verbindung zu [mm] $\vec{r}'$ [/mm] senkrecht zum Normalenvektor ist. Und das ergibt eine Ebene. Und für den Fall, daß die Differenz [mm] \vec{0} [/mm] ist, bedeutet das ja, daß [mm] $\vec{r}=\vec{r}'$ [/mm] , liegt also auch in der Ebene.
Also: Du mußt daran denken, daß Aufpunkt- und Normalenvektor fest vorgegeben sind!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 Di 19.12.2006 | | Autor: | Hing |
vielen danke für deine hilfe! natürlich muss der r-vektor mit ALLEN seinen laufenden punkten immer senkrecht zur normalen sein. und dafür habe ich 1 stunde gebraucht.
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