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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:01 Fr 24.03.2006 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Wandeln Sie die Ebene E: 3x - y +7z = 12 in die Parameterform um.
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Nun weiss ich zwar einen Lösungsweg, in dem man, drei Punkte wählt , die nicht auf einer Geraden liegen und dann die Ebenengleichung via Drei-Punkte-Ansatz aufstellt.
Aber es gibt laut Buch noch einen zweiten Lösungsweg! Dabei löst man die gegebene Gleichung nach einer der Variablen auf und stellt dann den zugehörigen Vektor auf. Das habe ich auf drei Arten gemacht:
a) auflösen nach x ...
b) auflösen nach y ...
c) auflösen nach z ...
Meine Frage ist, warum komme ich nicht aufdieselben Richtungsvektoren ggf. linear abhängigen Vektoren???
zu a)
y = -12 + 3x + 7z
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{ x \\ - 12 +3x +7z \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -12 \\ 0} [/mm] + x [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 0} [/mm] + z [mm] \vektor{0 \\ 7 \\ 1} [/mm]
zu b)
x = 4 + 1/3 y - 7/3 z
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{ 4 + 1/3 y - 7/3 z \\ 0 +y + 0 \\ 0 + 0 + z} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 0} [/mm] + y [mm] \vektor{1/3 \\ 1 \\ 0} [/mm] + z [mm] \vektor{-7/3 \\ 0 \\ 1} [/mm]
zu c)
z = 12/7 - 3/7 x + 1/7 y
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{ x \\ 0 +0 + y \\ 12/7 - 3/7x + 1/7 y} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 12/7} [/mm] + x [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -3/7} [/mm] + y [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1/7} [/mm]
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Hallo,
ich habe ![[]](/images/popup.gif) hier ein Dok gefunden, wo dein Weg beschrieben wird. Finde ich ganz gut. Wenn du noch Fragen dazu hast, dann frag.
Deine Rechnung ist ziemlich konfus. Du musst doch Parameter wählen. Die Vektoren müssten nicht linear abhängig sein, da du auch verschiedene Stützpunkte hast und sich somit die Richtung ändern kann. Dazu wird aber auch etwas im verlinkten Dok beschrieben.
Viele Grüße und ein schönes Wochenende
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:56 Fr 24.03.2006 | | Autor: | hase-hh |
Hallo Daniel,
danke für den Hinweis, mit dem Aufpunkt, das war mir nicht klar. Allerdings ist meine Rechnung nicht konfus. Nur, dass ich die Parameter (noch) nicht durch r bzw. s ersetzt habe. Wenn z.b. x=r dann ist ja wohl auch r=x, oder?
Ansonsten habe ich genau so gerechnet, wie im Link beschrieben (s. S.23):
Beispiel 3: E: 4x1 + 5x2 - 6x3 = 2
Nun ist eigentlich egal, welche zwei Variablen man durch freie Wahl vorgibt. Wir müssen uns nur darüber klar werden, dass wir danneben unterschiedliche Parametergleichungen erhalten. [das war meine Frage!]
1. Mglkt.
Auflösen nach x1 : 4x1 = 2 -5x2 + 6x3
x1 = 1/2 - 5/4x2 + 3/2x3
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{1/2 - 5/4r + 3/2s \\ r \\ s}
[/mm]
E : [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{1/2 \\ 0 \\ 0} [/mm] + r [mm] \vektor{-5/4 \\ 1 \\ 0} [/mm] + s [mm] \vektor{3/2 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
bzw.
E : [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{1/2 \\ 0 \\ 0} [/mm] + r [mm] \vektor{-5 \\ 4 \\ 0} [/mm] + s [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
2. Mglkt.
Auflösen nach x2 : 5x2 = 2 -4x1 + 6x3
x2 = 2/5 - 4/5x1 + 6/5x3
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{r \\ 2/5 - 4/5r +6/5s \\ s}
[/mm]
E : [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 2/5 \\ 0} [/mm] + r [mm] \vektor{1 \\ -4/5 \\ 0} [/mm] + s [mm] \vektor{0 \\ 6/5 \\ 1}
[/mm]
bzw.
E : [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 2/5 \\ 0} [/mm] + r [mm] \vektor{5 \\ -4 \\ 0} [/mm] + s [mm] \vektor{0 \\ 6 \\ 5}
[/mm]
3. Mglkt.
Auflösen nach x3 : 6x3 = -2 + 4x1 + 5x2
x3 = -1/3 + 2/3x1 + 5/6 x2
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{r \\ s \\ - 1/3 + 2/3r + 5/6s}
[/mm]
E : [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ -1/3} [/mm] + r [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2/3} [/mm] + s [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 5/6}
[/mm]
bzw.
E : [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ -1/3} [/mm] + r [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 2} [/mm] + s [mm] \vektor{0 \\ 6 \\ 5}
[/mm]
Schönes Wochenende!
wolfgang
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Hallo Wolfgang,
natürlich ist es irgendwo dasselbe. Die Parameter sind doch aber entscheidend, da x,y,z doch die Elemente deiner Vektoren sind.
VG Daniel
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