Ebene und Pyramide < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:45 Mo 07.03.2005 | | Autor: | MandyJ |
Hallo,
ich verzweifel gerade an folgender Aufgabe:
Die Ebene E enthält die Punkte P(6/6/0), Q(2/2/6) und R(4/5/2). Die Punkte P, A(2/8/0) und O(0/0/0) sind Eckpunkte einer massiven dreiseitigen Pyramide mit der Spitze S(4/6/10).
1) Die Ebene E schneidet die Pyramide in einem Dreieck. Bestimmen Sie die Koordinaten der Eckpunkte dieses Dreiecks. Zeigen Sie, dass dieses Schnittdreieck gleichschenklig ist, und berechnen Sie seinen Flächeninhalt.
Bestimmen Sie das Volumen derjenigen Pyramide, die das Schnittdreieck als Grundfläche und S als Spitze hat.
2) Der Vektor (3/-1/-5) gibt die Richtung von parallel einfallendem Licht an.
Dabei wirft die Pyramide PAOS einen Schatten auf die x1x2-Ebene. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schattenpunktes S* der Pyramidenspitze S. Zeigen Sie, dass S* auf der Gerade durch A und P liegt.
Die Richtung des einfallenden Lichtes wird nun so verändert, dass der Schatten der Pyramide ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck OSP mit rechtem Winkel bei S ergibt. Welchen Richtungsvektor hat dann das einfallende Licht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bitte helft mir, ich hab da echt keinen Schimmer....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 Mo 07.03.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo MandyJ
Die Ebene E geht durch den Eckpunkt P der Pyramide. Deshalb schneidet schneidet sie die Kanten (oder ihre Verlängerung) PA, PO, PS in P.
Ich würde deshalbe die Schnittpunkte von E mit den Kanten OS, OA und AS berechnen und schauen, welche zwei der drei Schnittpunkte auf der Kante liegen und nicht auf der Verlängerung.
Also: 1. Ebenengleichung der Ebene E aufstellen.
2. Geradengleichung der Kanten aufstellen.
3. Schnittpunkte bestimmen.
4. Frage beantworten.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Mo 07.03.2005 | | Autor: | MandyJ |
Hallo moudi,
danke für deine Hilfe. Ich habe jetzt 2 Schnittpunkte berechnet: (2/3/5) und (2/8/0). Den Beweis für die Gleichschenkligkeit habe ich auch. Für den Flächeninhalt des Schnittdreiecks habe ich 15 ausgerechnet. Stimmt das? Bei dem Volumen der neuen Pyramide komme ich auf den Wert 30. Stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Mo 07.03.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo moudi,
> danke für deine Hilfe. Ich habe jetzt 2 Schnittpunkte
> berechnet: (2/3/5) und (2/8/0). Den Beweis für die
> Gleichschenkligkeit habe ich auch. Für den Flächeninhalt
> des Schnittdreiecks habe ich 15 ausgerechnet. Stimmt das?
> Bei dem Volumen der neuen Pyramide komme ich auf den Wert
> 30. Stimmt das?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Mo 07.03.2005 | | Autor: | MandyJ |
Hallo Ihr Mathe-Genies da draußen!
Brauche dringend einen Tipp für die Lösung von Teil 2 meiner Aufgabe. Ich glaub, ich hab schon lauter Knoten im Gehirn, seufz....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Mo 07.03.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo MandyJ
Der Lichtstrahl durch S ist eine Gerade, von der kennt man einen Punkt (nämlich S) und einen Richtungsvektor nämlich (3,-1,-5) ----> Geradengleichung!
Dann schneidest du diese Gerade mit der xy-Koordinatenebene (mit der Gleichung z=0) ----> S*
Ob S* auf der Geraden AP liegt kann man dadurch prüfen, ob die Vektoren [mm] $\vec{S^\ast A}$ [/mm] und [mm] $\vec{PA}$ [/mm] kollinear sind (proportionale Komponenten).
In der Fortsetzung muss es natürlich heissen: gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck OS*P mit rechtem Winkel bei S*.
Da O und P in der xy-Ebene liegen muss man also Punkt S* in dieser Ebene mit den obenstehenden Bedingungen finden. Das würde ich so machen:
Sei M die Mitte von OP und S*(x,y,0) dann musst x,y so bestimmen, dass
1. [mm] $\vec{MS^\ast}$ [/mm] und [mm] $\vec{MO}$ [/mm] sind senkrecht (wieso? Skizze!)
2. [mm] $\vec{MS^\ast}$ [/mm] und [mm] $\vec{MO}$ [/mm] sind gleich lang.
Der Richtungsvektor des einfallende Lichtes ist dann [mm] $\vec{SS^\ast}$.
[/mm]
mfG Moudi
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