Ebenen im R^3 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 Mi 26.10.2005 | | Autor: | Paige |
Hi!
Ich sitze gerade über zwei Aufgaben und bin schlicht am Verzweifeln. Ich weiß nicht, ob ich einfach nur nen Brett vorm Kopf habe und irgendwas nicht sehe, denn eigentlich scheinen mir die Aufgaben recht logisch doch ich finde keinen Zugang zur Lösung. Für Anregungen und Ansätze die das Brett vor meinem Kopf etwas dünner machen würden, würde ich mich freuen.
Hier die Aufgaben:
1) Bestimme alle Ebenen im [mm] \IR^3\ [/mm], die den Punkt (1, 1, -1) enthalten.
2) Bestimme alle Ebenen im [mm] \IR^3\ [/mm] , die die Gerade L = [mm] (1,0,1) + \alpha (-1,2,0) [/mm] enhalten.
Meine Ideen:
zu 1) Ich würde einfach den Punkt (1,1,-1) als Aufpunktsvektor der Ebene nehmen, so ist er auf jeden Fall in der Ebene enthalten. Die beiden Richtungsvektoren müssen auf jeden Fall linear unabhängig sein, da sonst keine Ebene dargestellt wird.
Da ich alle Ebenen bestimmen muss, hab ich mir gedacht das die Richtungsvektoren auf jeden Fall noch Variablen als Parameter haben, dass heißt ich brauch ne Ebenenschar. Und wenn mich nicht alles täuscht müsste diese Ebenenschar doch den kompletten [mm] \IR^3\ [/mm] darstellen, oder???
Da komme ich dann aber schon zu meinem Problem, ich weiß nicht wie ich die beiden Richtungsvektoren bestimmen kann, so dass sie alle Ebenen darstellen, die ich brauche.
zu 2) Da habe ich mir gedacht, dass ich den Aufpunktsvektor der Geraden als Aufpunktsvektor der Ebene nehme und den Richtungsvektor der Gerade als einen Richtungsvektor der Ebene. Fehlt mir also nur noch der zweite.
Weiter habe ich mir gedacht, dass die beiden Richtungsvektoren der Ebene (nenne sie jetzt mal x = (-1, 2, 0) und y = (y1,y2,y3)) auf jeden Fall linear unabhängig sein müssen. Das sind sie ja auf jeden Fall, wenn sie senkrecht zu einander stehen.
Also müsste dann ja folgendes gelten: x * y = 0
Sprich: -1 * y1 + 2 * y2 + 0 * y3 = 0
Daraus würde ich jetzt folgern, dass y3 jede beliebige Zahl sein kann, also z.B. y3 = t, und ich wähle dann noch y2 = s (wobei t und s [mm] in\IR\ [/mm] ).
Dann folgt für y1 = 2s.
Für die Ebene ergibt sich dann folgende Gleichung:
E = (1,0,1) + [mm] \alpha [/mm] (-1,2,0) + [mm] \beta [/mm] (2s,s,t).
Nun meine Frage: Hab ich damit wirklich alle Ebenen erwischt, die die Gerade enthalten???
Vielen Dank schon mal im Voraus für Tipps und Anregungen.
Liebe Grüße
Paige
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Mi 26.10.2005 | | Autor: | statler |
Auch hi!
> Hier die Aufgaben:
>
> 1) Bestimme alle Ebenen im [mm]\IR^3\ [/mm], die den Punkt (1, 1,
> -1) enthalten.
>
> 2) Bestimme alle Ebenen im [mm]\IR^3\[/mm] , die die Gerade L =
> [mm](1,0,1) + \alpha (-1,2,0)[/mm] enhalten.
>
> Meine Ideen:
>
> zu 1) Ich würde einfach den Punkt (1,1,-1) als
> Aufpunktsvektor der Ebene nehmen, so ist er auf jeden Fall
> in der Ebene enthalten. Die beiden Richtungsvektoren müssen
> auf jeden Fall linear unabhängig sein, da sonst keine Ebene
> dargestellt wird.
>
> Da ich alle Ebenen bestimmen muss, hab ich mir gedacht das
> die Richtungsvektoren auf jeden Fall noch Variablen als
> Parameter haben, dass heißt ich brauch ne Ebenenschar. Und
> wenn mich nicht alles täuscht müsste diese Ebenenschar doch
> den kompletten [mm]\IR^3\[/mm] darstellen, oder???
Was heißt darstellen? Jeder Punkt des Raumes liegt in mindestens einer dieser Ebenen.
> Da komme ich dann aber schon zu meinem Problem, ich weiß
> nicht wie ich die beiden Richtungsvektoren bestimmen kann,
> so dass sie alle Ebenen darstellen, die ich brauche.
Anderer Vorschlag: Man nehme die Koordinatendarstellung der Ebene (hoffentlich aus der Schule bekannt) und setze die Koord. des Punktes, der enthalten sein soll, ein; das gibt eine Beziehung zwischen den Koeffizienten der Gleichung. Damit ist man im Prinzip fertig, man kann aber natürlich noch die Koord.-darstellung in eine Parameterdarst. mit Stütz- und Spannvektoren umrechnen. Das überlasse ich mal dir.
> zu 2) Da habe ich mir gedacht, dass ich den Aufpunktsvektor
> der Geraden als Aufpunktsvektor der Ebene nehme und den
> Richtungsvektor der Gerade als einen Richtungsvektor der
> Ebene. Fehlt mir also nur noch der zweite.
>
> Weiter habe ich mir gedacht, dass die beiden
> Richtungsvektoren der Ebene (nenne sie jetzt mal x = (-1,
> 2, 0) und y = (y1,y2,y3)) auf jeden Fall linear unabhängig
> sein müssen. Das sind sie ja auf jeden Fall, wenn sie
> senkrecht zu einander stehen.
>
> Also müsste dann ja folgendes gelten: x * y = 0
> Sprich: -1 * y1 + 2 * y2 + 0 * y3 = 0
>
> Daraus würde ich jetzt folgern, dass y3 jede beliebige Zahl
> sein kann, also z.B. y3 = t, und ich wähle dann noch y2 = s
> (wobei t und s [mm] in\IR\[/mm] ).
>
> Dann folgt für y1 = 2s.
>
> Für die Ebene ergibt sich dann folgende Gleichung:
>
> E = (1,0,1) + [mm]\alpha[/mm] (-1,2,0) + [mm]\beta[/mm] (2s,s,t).
Der Gedankengang sieht OK aus. s und t dürfen nicht beide = 0 sein. (Weil [mm]\beta[/mm] ganz [mm] \IR [/mm] durchläuft, kann ich auch t = 1 nehmen, verliere dann allerdings eine Ebene aus dieser Schar.) Ist dir eigentlich bildlich klar, wie das Gebilde so aussieht?
> Nun meine Frage: Hab ich damit wirklich alle Ebenen
> erwischt, die die Gerade enthalten???
Sogar mehrmals!
> Vielen Dank schon mal im Voraus für Tipps und Anregungen.
Da nich für und Pfüat di (ich war mal Oberpfälzer)
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Mi 26.10.2005 | | Autor: | Paige |
Hi!
Danke für schnelle Hilfe.
Ich hab das mal mit der Koordinatendarstellung probiert, aber irgendwie sehe ich da noch nicht wirklich, wie mich das weiterbringen soll. Die Koordinatendarstellung einer Ebene sieht doch so aus:
ax1 + bx2 + cx3 = d (wobei [mm] a^2 + b^2 + c^2 \ne 0 [/mm] )
Wenn ich dann meinen Punkt einsetze, erhalte ich:
a + b - c = d
Wie soll mir das jetzt weiterhelfen??? Oder hab ich schon bei der Koordinatendarstellung einen Fehler???
> Ist dir eigentlich bildlich klar, wie das Gebilde so aussieht?
Na, ich denke mal, dass es sich um Ebenen handelt die um die um die geg. Gerade rotieren. Spricht die Gerade ist die Rotationsachse. Oder etwa nicht??
LG
Paige
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:42 Fr 28.10.2005 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Ich hab das mal mit der Koordinatendarstellung probiert,
> aber irgendwie sehe ich da noch nicht wirklich, wie mich
> das weiterbringen soll. Die Koordinatendarstellung einer
> Ebene sieht doch so aus:
>
> ax1 + bx2 + cx3 = d (wobei [mm]a^2 + b^2 + c^2 \ne 0[/mm] )
>
> Wenn ich dann meinen Punkt einsetze, erhalte ich:
>
> a + b - c = d
>
> Wie soll mir das jetzt weiterhelfen??? Oder hab ich schon
> bei der Koordinatendarstellung einen Fehler???
Nee, überhaupt nicht! Du bist jetzt fertig. Die Ebenen mit der Koord.-darst.
ax1 + bx2 + cx3 = a+b-c
tun es.
Wenn gewünscht, kann man die 3 Darstellungsformen Koord.-darst., Parameterdarst. und Hesse-Form ineinander umrechnen. Dazu habe ich jetzt aber keine Lust.
> > Ist dir eigentlich bildlich klar, wie das Gebilde so
> aussieht?
>
> Na, ich denke mal, dass es sich um Ebenen handelt die um
> die um die geg. Gerade rotieren. Spricht die Gerade ist die
> Rotationsachse. Oder etwa nicht??
Genau! Du kannst z. B. den veränderlichen Vektor noch auf eine feste Länge (z. B. 1) normieren, dann kreist der wie so'n Uhrzeiger und dreht sozusagen die Ebene mit.
Ich wünsche schon mal ein schönes Wochenende
Dieter
|
|
|
|
