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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Fr 01.02.2008 | | Autor: | Julian |
| Aufgabe | Ermitteln Sie die Gleichung der Ebene, die durch den Punkt [mm] P_{1}=(-1;-1;2) [/mm] geht und senkrecht auf den Ebenen [mm] E_{1} [/mm] und [mm] E_{2} [/mm] steht.
[mm] E_{1}: \pmat{ 1 \\ -2 \\ 1 } \vec{r} [/mm] = 4 [mm] E_{2}: \pmat{ 1 \\ 2 \\ -2 } \vec{r} [/mm] = -4 |
Hallo ihr!
Ich habe leider überhaupt keinen Ansatz bei der Aufgabe.
Bin mir auch bei dem Verständnis der Aufgabe nicht ganz sicher. Soll die gesuchte Ebene senkrecht auf [mm] E_{1} [/mm] stehen und gleichzeitig senkrecht auf [mm] E_{2} [/mm] ?
Und wie kann ich mit einfließen lassen, dass die gesuchte Ebene durch den [mm] P_{1} [/mm] geht?
Wäre für ein paar Tipps und Anregungen sehr dankbar!
Lieben Gruß,
Julian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 Fr 01.02.2008 | | Autor: | weduwe |
> Ermitteln Sie die Gleichung der Ebene, die durch den Punkt
> [mm]P_{1}=(-1;-1;2)[/mm] geht und senkrecht auf den Ebenen [mm]E_{1}[/mm] und
> [mm]E_{2}[/mm] steht.
>
> [mm]E_{1}: \pmat{ 1 \\ -2 \\ 1 } \vec{r}[/mm] = 4 [mm]E_{2}: \pmat{ 1 \\ 2 \\ -2 } \vec{r}[/mm]
> = -4
> Hallo ihr!
>
> Ich habe leider überhaupt keinen Ansatz bei der Aufgabe.
>
> Bin mir auch bei dem Verständnis der Aufgabe nicht ganz
> sicher. Soll die gesuchte Ebene senkrecht auf [mm]E_{1}[/mm] stehen
> und gleichzeitig senkrecht auf [mm]E_{2}[/mm] ?
>
> Und wie kann ich mit einfließen lassen, dass die gesuchte
> Ebene durch den [mm]P_{1}[/mm] geht?
>
> Wäre für ein paar Tipps und Anregungen sehr dankbar!
>
> Lieben Gruß,
> Julian
ja die gesuchte ebene E soll auf die beiden anderen senkrecht stehen.
das geht am einfachsten, indem du über das vektorprodukt einen normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] von E bestimmst.
mit der normalvektorform kannst du dann die gleichung von E aufstellen
[mm] (\vec{x}-\vec{p})\cdot\vec{n}=0
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:46 Fr 01.02.2008 | | Autor: | statler |
Hallo ihr beiden!
> ja die gesuchte ebene E soll auf die beiden anderen
> senkrecht stehen.
> das geht am einfachsten, indem du über das vektorprodukt
> einen normalenvektor [mm]\vec{n}[/mm] von E bestimmst.
Das geht sogar noch einfacher, indem du dir überlegst, was die beiden gegebenen Normalenvektoren für die gesuchte Ebene sind. Und weiter, welchen Punkt du als Stützpunkt nehmen kannst.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:48 Fr 01.02.2008 | | Autor: | Julian |
Hallo Dieter, vielen Dank!
Oh, du kommst auch aus Harburg? 
Sorry dass ich auch hier nachhaken muss.. was genau meinst du damit? Wie und wieso soll ich mir überlegen was die beiden Normalenvektoren der Ebene sind? (Und wieso zwei Normalenvektoren, eine Ebene hat doch nur eine Normale?)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:40 Fr 01.02.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Oh, du kommst auch aus Harburg?
Ich bin im Moment in Harburg, kommen tu ich aus P'büttel.
> Sorry dass ich auch hier nachhaken muss.. was genau meinst
> du damit? Wie und wieso soll ich mir überlegen was die
> beiden Normalenvektoren der Ebene sind? (Und wieso zwei
> Normalenvektoren, eine Ebene hat doch nur eine Normale?)
Einen Normalenvektor der Ebene [mm] E_{1} [/mm] kannst du direkt aus der Gleichung ablesen, er steht da. Wenn die gesuchte Ebene senkrecht auf [mm] E_{1} [/mm] stehen soll, muß dieser Normalenvektor parallel zu E sein. Die gleiche Überlegung trifft auf [mm] E_{2} [/mm] zu. Wenn ich also diese beiden Vektoren in einem Punkt der aufhänge (was leicht geht, weil ja ein Punkt von E vorgegeben ist), dann liegen diese beiden Vektoren in der Ebene. Sie bilden dann 2 Spannvektoren, wie man in der Schule sagt.
Wenn du dir das nicht vorstellen kannst, mußt du dir ein Modell aus DinA4-Blättern und Bleistiften erstellen. Vorsicht, man braucht dazu 4 Hände!
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Fr 01.02.2008 | | Autor: | Julian |
Danke für deine Antwort!
Leider hilft mir das noch nicht so sehr weiter.
Das Vektorprodukt welcher Ebenen soll ich berechnen? Von [mm] E_{1} [/mm] und [mm] E_{2}? [/mm] Hilft mir das denn?
Und was genau sagt mir die Beziehung [mm] (\vec{x}-\vec{p})\cdot\vec{n}=0 [/mm] aus? Dass der Punkt X in der gesuchten Ebene liegt?
Sorry für mein Unverständnis :( und vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Fr 01.02.2008 | | Autor: | Julian |
Hallo ihr!
Die obere Frage kann geschlossen werden!
Ich habe eure Tipps jetzt mal aufgefasst und folgendes berechnet:
Kreuzprodukt der beiden Normalen: [mm] \pmat{ 1 \\ -2 \\ 1 } \times \pmat{ 1 \\ 2 \\ -2 } [/mm] und erhalte [mm] \pmat{ 2 \\ 4 \\ 4 }, [/mm] soweit so gut.
Dann mit Hilfe der folgenden Gleichung weiter gerechnet:
[mm] (\vec{x} [/mm] - [mm] \pmat{ -1 \\ -1 \\ 2 }) [/mm] * [mm] \pmat{ 2 \\ 4 \\ 4 } [/mm] = 0
und erhalte: [mm] \vec{x} [/mm] * [mm] \pmat{ 2 \\ 4 \\ 4 } [/mm] = 0 (der Rest hebt sich auf),
also als Ebenengleichung: [mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] 4x_{2} [/mm] + [mm] 4x_{3} [/mm] = 0
Herauskommen sollte aber [mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] 3x_{2} [/mm] + [mm] 4x_{3} [/mm] = 3
Wo ist mein Fehler?
Vielen Dank schonmal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Fr 01.02.2008 | | Autor: | statler |
> Hallo ihr!
>
> Die obere Frage kann geschlossen werden!
Ha ich gemacht.
> Ich habe eure Tipps jetzt mal aufgefasst und folgendes
> berechnet:
>
> Kreuzprodukt der beiden Normalen: [mm]\pmat{ 1 \\ -2 \\ 1 } \times \pmat{ 1 \\ 2 \\ -2 }[/mm]
> und erhalte [mm]\pmat{ 2 \\ 4 \\ 4 },[/mm] soweit so gut.
Nee, Rechenfehler. [mm]\pmat{ 2 \\ 3 \\ 4 }[/mm] ist richtiger.
> Dann mit Hilfe der folgenden Gleichung weiter gerechnet:
>
> [mm](\vec{x}[/mm] - [mm]\pmat{ -1 \\ -1 \\ 2 })[/mm] * [mm]\pmat{ 2 \\ 4 \\ 4 }[/mm] =
> 0
>
> und erhalte: [mm]\vec{x}[/mm] * [mm]\pmat{ 2 \\ 4 \\ 4 }[/mm] = 0 (der Rest
> hebt sich auf),
> also als Ebenengleichung: [mm]2x_{1}[/mm] + [mm]4x_{2}[/mm] + [mm]4x_{3}[/mm] = 0
>
> Herauskommen sollte aber [mm]2x_{1}[/mm] + [mm]3x_{2}[/mm] + [mm]4x_{3}[/mm] = 3
>
> Wo ist mein Fehler?
s. o.
So geht es auch.
Ciao
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:56 Fr 01.02.2008 | | Autor: | Julian |
Ach Mist, ein Flüchtigkeitsfehler..
hat aber nun geklappt. Danke!
Aber wieso "So geht es auch." ? Wie hättest du es anders gemacht? Magst du mir das nochmal erklären?
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:13 Fr 01.02.2008 | | Autor: | statler |
Hi,
in der Schuldarstellung sieht die gesuchte Ebene so aus
E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ 2} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{1 \\ -2 \\ 1} [/mm] + [mm] \mu*\vektor{1 \\ 2 \\ -2}
[/mm]
Ich hoffe, du kannst diese Darstellung in deine Normalform umrechnen.
Nun klarer?
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Fr 01.02.2008 | | Autor: | Julian |
Achso, ja, wie ich in diese Form umwandle weiß ich
Vielen Dank für deine Antwort!
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