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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Do 12.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Gesucht ist eine Koordinatengleichung der beschriebenen Ebene.
a) Es handelt sich um die x-y-Ebene.
b) Die Ebene enthält den Punkt P(2/1/3) und ist zur y-z-Ebene parallel.
c) Die Ebene geht durch den Punkt P(4/4/0) und ist parallel zur z-Achse.Ihr y-Achsenabschnitt beträgt y=12
d) Die Ebene enthält die Punkte A(2/-1/5), B(-1/-3/9) und ist parallel zur z-Achse. |
Hallo zusammen^^
Ich hab diese Aufgabe gerechnet.Kann vielleicht jemadn nachgucken ob es so in Ordnung ist?
a) Die Parametergleichung der x-y-Ebene lautet:
[mm] E_{1}:\vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}+r\cdot{}\vektor{a \\ 0 \\ 0}+s\cdot{}\vektor{0 \\ b \\ 0}
[/mm]
Für die Koordinatenform hab ich folgende Gleichung:
x=a*r
y=b*s
Hier kann ich keinen Parameter eliminieren.Ist die Koordinatenform dann x-y=ar-bs ?
b) [mm] E_{2}:\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 3}+r\cdot{}\vektor{0 \\ a \\ 0}+s\cdot{}\vektor{0 \\ 0 \\ b}
[/mm]
Dann hab ich x=2
y=1+ra
z=3+sb
Hier kann ich auch keine Parameter eliminieren,ich versteh das nicht?
c) Da hab ich 8x+4y=48
d) Hier weiß ich leider nicht wie ich das machen soll.Also einen Punkt könnte ich Auffahrtsvektor nehmen,aber weiter weiß ich es nicht.
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 Do 12.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
> a) Die Parametergleichung der x-y-Ebene lautet:
>
> [mm]E_{1}:\vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}+r\cdot{}\vektor{a \\ 0 \\ 0}+s\cdot{}\vektor{0 \\ b \\ 0}[/mm]
Mache es Dir doch einfacher, indem Du konkrete Werte $a \ = \ b \ = \ 1$ einsetzt.
>
> Für die Koordinatenform hab ich folgende Gleichung:
> x=a*r
> y=b*s
Mache es anschaulich: welche der Koordinatenachsen ist ein Normalenvektor auf die x/y-Ebene?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Do 12.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy!
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> > a) Die Parametergleichung der x-y-Ebene lautet:
> >
> > [mm]E_{1}:\vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}+r\cdot{}\vektor{a \\ 0 \\ 0}+s\cdot{}\vektor{0 \\ b \\ 0}[/mm]
>
> Mache es Dir doch einfacher, indem Du konkrete Werte [mm]a \ = \ b \ = \ 1[/mm]
> einsetzt.
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> >
> > Für die Koordinatenform hab ich folgende Gleichung:
> > x=a*r
> > y=b*s
>
> Mache es anschaulich: welche der Koordinatenachsen ist ein
> Normalenvektor auf die x/y-Ebene?
>
Normalenvektoren hatten wir noch nicht,deswegen kann ich mir dadrunter grad auch nichts vorstellen ?
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Hallo Mandy_90,
> > Hallo Mandy!
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> > > a) Die Parametergleichung der x-y-Ebene lautet:
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> > > [mm]E_{1}:\vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}+r\cdot{}\vektor{a \\ 0 \\ 0}+s\cdot{}\vektor{0 \\ b \\ 0}[/mm]
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> > Mache es Dir doch einfacher, indem Du konkrete Werte [mm]a \ = \ b \ = \ 1[/mm]
> > einsetzt.
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> > >
> > > Für die Koordinatenform hab ich folgende Gleichung:
> > > x=a*r
> > > y=b*s
> >
> > Mache es anschaulich: welche der Koordinatenachsen ist ein
> > Normalenvektor auf die x/y-Ebene?
> >
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> Normalenvektoren hatten wir noch nicht,deswegen kann ich
> mir dadrunter grad auch nichts vorstellen ?
Ein Normalenvektor steht hier senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren der Ebene, das heißt, das Skalarprodukt mit jedem dieser Richtungsvektoren ist null.
[mm]\pmat{1 \\ 0 \\ 0} \* \pmat{n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3}} = 0[/mm]
[mm]\pmat{0 \\ 1 \\ 0} \* \pmat{n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3}} = 0[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Do 12.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy_90,
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> > > Hallo Mandy!
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> > > > a) Die Parametergleichung der x-y-Ebene lautet:
> > > >
> > > > [mm]E_{1}:\vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}+r\cdot{}\vektor{a \\ 0 \\ 0}+s\cdot{}\vektor{0 \\ b \\ 0}[/mm]
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> > >
> > > Mache es Dir doch einfacher, indem Du konkrete Werte [mm]a \ = \ b \ = \ 1[/mm]
> > > einsetzt.
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> > > >
> > > > Für die Koordinatenform hab ich folgende Gleichung:
> > > > x=a*r
> > > > y=b*s
> > >
> > > Mache es anschaulich: welche der Koordinatenachsen ist ein
> > > Normalenvektor auf die x/y-Ebene?
> > >
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> > Normalenvektoren hatten wir noch nicht,deswegen kann ich
> > mir dadrunter grad auch nichts vorstellen ?
>
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> Ein Normalenvektor steht hier senkrecht auf den beiden
> Richtungsvektoren der Ebene, das heißt, das Skalarprodukt
> mit jedem dieser Richtungsvektoren ist null.
>
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> [mm]\pmat{1 \\ 0 \\ 0} \* \pmat{n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3}} = 0[/mm]
>
> [mm]\pmat{0 \\ 1 \\ 0} \* \pmat{n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3}} = 0[/mm]
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Leider hatten wir weder Normalenvektoren noch das Skalarprodukt.
Kann ich die Aufgabe nicht anders lösen?
Ist meine Koordinatenform(en) richtig oder falsch?
lg
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Leider nicht, denn die richtige Lösung wäre z=0. Etwas merkwürdig von der Form, aber richtig. Leider ist die Erklärung dafür nicht so anschaulich, als wenn ich es mit der Normalenform erklären dürfte, da siehst du es auf einen Punkt.
An sich gilt für jede Koordinatenform: Ist die Ebene parallel zu einer Achse, so ist der Vorfaktor für die Koordinate dieser Achse 0.
In deinem Fall ist die [mm] Ebene_{xy} [/mm] ja parallel zur x- und y-Achse, daher verschwinden diese beiden Variablen aus der Gleichung. damit hast du z=a. Das a gibt in diesem Fall die Abweichung in z-Richtung an. z=1 wäre eine Ebene, die parallel zur xy-Ebene ist, aber bei z=1 liegt, also eine Einheit in der Höhe. z=0 liegt in der x-y-Ebene und ist damit die x-y-Ebene.
Es hilft vielleicht auch, zu verstehen, was die Koordinatenform angibt. Die Parameterform stellt die Ebene mit Hilfe eines Punktes dar und zweier Vektoren, die die Richtung bzw die Aufspannrichtung der Ebene angeben. Alle Punkte liegen irgendwo zwischen der x und y achse. Nun ist die Koordinatenebene genauso, nur dass sie wie bei einer Gerade die Veränderung angibt. Aber deine Gleichungen zeigen, dass die Parameter nicht eliminiert werden können. Damit ist die Ebene nicht in irgendeine x-Richtung begrenzt! Und auch nicht in y! Du kannst in jede dieser Richtungen eben unendlich weit gehen! Die einzige Richtung, die begrenzt ist, ist die z-Richtung mit z=0, denn in diese Richtung geht die Ebene ÜBERHAUPT NICHT! Da die Koordinatenschreibweise immer die Veränderung bis zum nächsten Punkt angibt (denke an eine Gerade, sprich z.B. 2x, wo ja bei einer Einheit um zwei Einheiten nach oben in y-Richtung gegangen wird), kann nur z=0 eine sinnvolle Angabe sein, weil die Ebene nur in dieser Richtung beschränkt ist! In x- und y-Richtung geht die Ebene unendlich weit oder nah, daher kann hier keine Koordinate auftauchen.
Eine Ebene der Form x+y+z=a ist dagegen in jede Richtung beschränkt, sie ist nicht parallel zu überhaupt einer Achse. Natürlich geht sie auch unendlich weit, aber der Punkt ist, dass sie bezogen auf die Achsen eine eundeutige Lage zu jeder Achse in Form einer Geraden annimmt und das kann eben beschrieben werden. In der x-y-Ebene gibt es jedoch keine derartige Begrenzungsgerade. Hoffe...das ist irgendwie verständlich
EDIT: Der vollständigkeit halber sei erwähnt, dass vor z ein beliebiger Vorfaktor stehen kann, so dass jede Ebene der Form az=b ein Repräsentant der xy-Ebene ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Do 12.03.2009 | | Autor: | chrisno |
Vielleicht hilft Dir diese Betrachtung etwas:
Was ist das Besondere der Koordinaten der x/y-Ebene?
1. z ist immer Null, also ist z = 0 schon mal ein Ansatz.
2. Wenn x einen bestimmten Wert hat, dann ist für y jeder Wert möglich und umgekehrt. x und y sind also gar nicht miteinander verknüpft. Also dürfen die beiden auch nicht in der Gleichung vorkommen, denn dadurch würden sie zueinander in eine Beziehung gebracht.
Damit ist z = 0 das Ergebnis.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Do 12.03.2009 | | Autor: | chrisno |
Hallo Mandy,
diese Aufgaben sind mühsam, wenn man nach einem Schema vorgehen will. Sie sind alle in der Form: Hinsehen, Nachdenken, fertig. Allerdings ist das räumliche Vorstellungsvermögen gefragt.
a) ist hoffentlich nun verstanden, sonst musst Du das zuerst abarbeiten.
b) Ist fast das Gleiche wie a). Vergleiche mit der Antwort und den Erklärungen zu a) und Du siehst, dass Du die Antwort schon fast fertig hast.
c) Dein Lösung sieht gut aus, aber willst Du nicht noch alles durch vier teilen?
Probe: y-Achsenabschnitt: (0, 12, 0) eingesetzt: richtig
(4, 4, 0) eingsetzt: auch richtig
z kommt nicht vor, das ist auch richtig. Für jedes Paar x und y kommt jedes z aus R vor, also darf die Gleichung keine Beschränkung für z enthalten.
Wenn die Gleichung für einen dritten Punkt auch noch stimmt, dann ist es fertig: Drei Punkte legen eine Ebene fest. In diesem Fall finde ich das zwar nicht nötig, aber lehrreich. Es muss nun erst ein mal ein dritter Punkt gefunden werden. Das ist aber einfach: alle Punkte über (0, 12, 0), zum Beispiel (0, 12, 20), gehören auch zur Ebene (das bedeutet parallel zur z-Achse). Nun stellst Du fest, dass die Rechnung die gleiche wie für (0, 12, 0) ist, also gilt die Gleichung auch für diesen Punkt.
d) Das ist nun fast das Gleiche wie c). Wie darfst Du die Koordinaten von A und B ändern, so dass sie immer noch zur Ebene gehören? Dann findest Du auch schnell die Achsenabschnitte und damit bist Du schon praktisch bei der Koordinatenform.
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