Ebenen in V < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | V sei ein K-Vektorraum mit dimV=3. [mm] E_{1}, E_{2} [/mm] seien zwei verschiedene Ebenen in V. Beweisen Sie, dass entweder [mm] E_{1} \cap E_{2} [/mm] eine Gerade ist oder die beiden Ebenen parallel sind! |
Aufgabenstellung ist klar. Musterlösung ist auch vorhanden.
Meine Frage: Ist folgender Beweis auch korrekt? Meiner Meinung nach fehlt hier die mathematische Begründung...
Bew.:
[mm] E_{1}, E_{2} [/mm] verschiedene Ebenen => T [mm] (E_{1}) \cap T(E_{2}) [/mm] = 0.
Es kann entweder span von [mm] (E_{1}) [/mm] ein Vielfaches von span von [mm] (E_{2}) [/mm] sein oder umgekehrt sein. Dann sind die Ebenen zueinander parallel.
Wenn dies aber nicht der Fall ist, dann schneiden sie sich in einer Geraden, denn im [mm] \IR [/mm] ^{3} können zwei Ebenen nicht windschief zueinander sein, oder sich in einer Ebene schneiden.
Meiner Meinung nach ist diese Lösung nicht ok.
Danke für Hinweise....
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> Bew.:
> [mm]E_{1}, E_{2}[/mm] verschiedene Ebenen => T [mm](E_{1}) \cap T(E_{2})[/mm]
> = 0.
Hallo,
was ist mit diesem T genau gemeint?
Gruß v. Angela
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> > Bew.:
> > [mm]E_{1}, E_{2}[/mm] verschiedene Ebenen => T [mm](E_{1}) \cap T(E_{2})[/mm]
> > = 0.
>
>
> Hallo,
>
> was ist mit diesem T genau gemeint?
>
> Gruß v. Angela
T [mm](E_{1}) \cap T(E_{2})[/mm]
> > = 0
T meint hierbei, dass es sich um UVR handelt von V.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:57 Di 16.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> V sei ein K-Vektorraum mit dimV=3. [mm]E_{1}, E_{2}[/mm] seien zwei
> verschiedene Ebenen in V. Beweisen Sie, dass entweder [mm]E_{1} \cap E_{2}[/mm]
> eine Gerade ist oder die beiden Ebenen parallel sind!
>
> Aufgabenstellung ist klar. Musterlösung ist auch
> vorhanden.
>
> Meine Frage: Ist folgender Beweis auch korrekt? Meiner
> Meinung nach fehlt hier die mathematische Begründung...
>
> Bew.:
> [mm]E_{1}, E_{2}[/mm] verschiedene Ebenen => T [mm](E_{1}) \cap T(E_{2})[/mm]
> = 0.
Wie kommst du da drauf? Das stimmt so nicht.
Kennst du die Dimensionsformel fuer Untervektorraeume? Die brauchst du hier. Was gibt es an Moeglichkeiten fuer [mm] $\dim(T(E_1) \cap T(E_2))$ [/mm] und [mm] $\dim(T(E_1) [/mm] + [mm] T(E_2))$?
[/mm]
(Tipp: es gibt genau zwei Moeglichkeiten. Die eine entspricht dem Fall, dass die Ebenen parallel sind, die andere dem Fall, dass die Ebenen sich in einer Geraden schneiden. Weisst du welcher Fall welcher ist?)
> Es kann entweder span von [mm](E_{1})[/mm] ein Vielfaches von span
> von [mm](E_{2})[/mm] sein oder umgekehrt sein. Dann sind die Ebenen
> zueinander parallel.
Wieso das? Und Vielfache eines Spanns sind der Spann selber. (Das sind ja Untervektorraeume.)
> Wenn dies aber nicht der Fall ist, dann schneiden sie sich
> in einer Geraden, denn im [mm]\IR[/mm] ^{3} können zwei Ebenen nicht
> windschief zueinander sein, oder sich in einer Ebene
> schneiden.
Das sollst du ja gerade Beweisen.
> Meiner Meinung nach ist diese Lösung nicht ok.
Ist sie auch nicht.
LG Felix
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Ich habe jetzt zu diesem Beweis eine Musterlösung durchgearbeitet, hierzu habe ich noch eine Frage:
Beweis:
dim [mm] E_1 [/mm] = dim [mm] E_2 [/mm] (klar)
[mm] E_1 [/mm] ungleich [mm] E_2 [/mm] => [mm] \exists [/mm] p [mm] \in E_1 [/mm] mit p [mm] \not\in E_2 [/mm] (auch klar) =>
3 [mm] \ge [/mm] dim [mm] (E_1 \vee E_2) \ge [/mm] dim ( [mm] \{p \} \vee E_2) [/mm] = 3. (wieso? hier hänge ich!!!) => dim [mm] ((E_1 \vee E_2)) [/mm] = 3...
Kann mir hier bitte jemand weiterhelfen?
Besten Dank.
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Wusste leider nicht, wie ich das Fälligkeitsdatum verlängern kann...
Jetzt habe ich nochmals eine Frage gestellt, damit die Frist nicht abläuft!!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:48 Di 23.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich habe jetzt zu diesem Beweis eine Musterlösung
> durchgearbeitet, hierzu habe ich noch eine Frage:
>
> Beweis:
> dim [mm]E_1[/mm] = dim [mm]E_2[/mm] (klar)
> [mm]E_1[/mm] ungleich [mm]E_2[/mm] => [mm]\exists[/mm] p [mm]\in E_1[/mm] mit p [mm]\not\in E_2[/mm]
> (auch klar) =>
Gut.
> 3 [mm]\ge[/mm] dim [mm](E_1 \vee E_2) \ge[/mm] dim ( [mm]\{p \} \vee E_2)[/mm] = 3.
> (wieso? hier hänge ich!!!) => dim [mm]((E_1 \vee E_2))[/mm] = 3...
Wo genau haengst du? Welches (Un-)Gleichungszeichen verstehst du nicht?
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mi 24.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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