Ebenen prüfen, AchseAbsch-Form < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:19 Fr 24.03.2006 | | Autor: | kahlchen |
| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte [mm] P_{1}, P_{2}, P_{3} [/mm] durch ihre Ortsvektoren
[mm] \vec{r_{1}}= \pmat{ 3 \\ 2 \\ 2 } \vec{r_{2}}= \pmat{ 2 \\ 2 \\ 1 } \vec{r_{3}}= \pmat{ 1 \\ -2 \\ 1 }
[/mm]
a) Prüfen Sie nach, dass diese Vektoren eindeutig eine Ebene E definieren.
b) Liegen der Koordinatenursprung sowie die Punkte [mm] Q_{1}(2;-2;-1) [/mm] und [mm] Q_{2}(-2;-2;-2) [/mm] in der Ebene E? Bestimmen Sie falls dies nicht der Fall ist deren Abstand zur Ebene.
c) Geben Sie die Hessesche-Normalform und die Achsen-Abschittsform an.
d) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des durch die Punkte [mm] P_{1}, P_{2} [/mm] und [mm] P_{3} [/mm] aufgespannten Dreiecks. |
Hallo,
ich komme mit den Ebenen nicht so ganz klar. Hier meine bisherigen Lösungen und Ansätze:
Zuerst habe ich die 3-Punkte-Form der Ebene aus den gegebenen 3 Punkten gebildet. Daraus habe ich die Punkt-Richtungs-Form (PRF) und wiederum daraus die Hessesche-Normalform (HNF) gebildet.
zu b) [mm] Q_{2} [/mm] liegt als einziger der 3 Punkte in der Ebene. Der Abstand vom Koordinatenursprung und von [mm] Q_{1} [/mm] zur Ebene wird nun mit der Hesseschen-Normalform berechnet (bin unsicher)?!? Nur leider sieht diese bei mir wie folgt aus.
PRF: [mm] \pmat{ x \\ y \\ z } [/mm] = [mm] \pmat{ 3 \\ 2 \\ 2 } [/mm] + [mm] \lambda_{1} \pmat{ -1 \\ -4 \\ 0 } [/mm] + [mm] \lambda_{2} \pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 }
[/mm]
HNF: [mm] \pmat{ x \\ y \\ z } \* \bruch{1}{\wurzel{33}} \* \pmat{ -4 \\ 1 \\ 4 } [/mm] = [mm] \bruch{-2}{\wurzel{33}}
[/mm]
Soweit so gut. Zu a), d) und c) [AAF] habe ich leider überhaupt keine Idee.
Vielen Dank schonmal für's Nachdenken und eventuell posten.
mfG kahlchen
Ich habe diese Frage nirgendwo anders gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:58 Fr 24.03.2006 | | Autor: | metzga |
> HNF: [mm]\pmat{ x \\ y \\ z } \* \bruch{1}{\wurzel{33}} \* \pmat{ -4 \\ 1 \\ 4 }[/mm] = [mm]\bruch{-2}{\wurzel{33}}[/mm]
Du hast ja die HNF schon, dann ist die AAF ganz einfach, die AAF ist so definiert:
AAF: [mm]\bruch{x}{a}+\bruch{y}{b}+\bruch{z}{c}=1[/mm]
zu deiner Aufgabe:
[mm]\pmat{ x \\ y \\ z } \* \bruch{1}{\wurzel{33}} \* \pmat{ -4 \\ 1 \\ 4 }[/mm] = [mm]\bruch{-2}{\wurzel{33}}[/mm]
[mm]<=>\bruch{1}{\wurzel{33}} *(-4*x+1*y+4*z) =\bruch{-2}{\wurzel{33}}<=>2*x+\bruch{1}{-2}*y-2*z =1[/mm]
zur a),
ich bin mir zwar nicht ganz sicher, da ist die Fragestellung zu schlecht formuliert, aber ich denke du musst nur zeigen, dass die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen.
zur c)
die hast ja schon gelöst.
zur b)
ich würde an deiner Stelle bei solchen Aufgaben erst die c) machen und zwar, weil man anhand der HNF oder AAF viel leichter überprüfen kann ob ein Punkt in der Ebene liegt.
zur d)
Die Länge des Kreuzproduktes zweier Vektoren [mm]\left|\vec a\times\vec b \right|[/mm] entspricht der Fläche des Parallelogramms mit den Seiten:[mm]\vec a, \vec b
[/mm]
Alles klar?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Fr 24.03.2006 | | Autor: | kahlchen |
> zur a),
> ich bin mir zwar nicht ganz sicher, da ist die Fragestellung zu schlecht formuliert, aber ich denke du musst nur zeigen, dass die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen.
Wie zeige ich das eindeutig?
> zur c)
> die hast ja schon gelöst.
Ja, vielen Dank.
> zur b)
> ich würde an deiner Stelle bei solchen Aufgaben erst die c) machen und zwar, weil man anhand der HNF oder AAF viel leichter überprüfen kann ob ein Punkt in der Ebene liegt.
Ich habe auch zuerst die HNF bestimmt, nur leider weiss ich nicht wie man den Abstand von einem Punkt zur Ebene bestimmt.
> zur d)
> Die Länge des Kreuzproduktes zweier Vektoren [mm]\left|\vec a\times\vec b \right|[/mm] entspricht der Fläche des Parallelogramms mit den Seiten:[mm]\vec a, \vec b
[/mm]
> Alles klar?
Das bedeutet ich berechne das Kreuzprodukt meiner beiden Richtungsvektoren aus der PRF und rechne den Betrag [mm] \* \bruch{1}{2} [/mm] ???
Vielen Dank schon mal.
mfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:35 Sa 25.03.2006 | | Autor: | metzga |
zur a)
du stellst mit zwei Punkten eine Geradengleichung auf [mm]g:\vec x=\vec x_0 + \lambda*\vec v[/mm].
Dann setzt du für x den dritten Punkt ein und überprüfst ob es ein [mm]\lambda[/mm] gibt, bei dem Gleichung erfüllt ist. Falls ja, liegen alle drei Punkte auf einer geraden. Bei nein eben nicht.
zur d)
ganz genau
zur b)
Sorry da muss ich passen, weiß ich nicht mehr.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Sa 25.03.2006 | | Autor: | kahlchen |
Hallo,
vielen Dank erstmal für die Hilfe :)
Bleibt jetzt nur noch eine Frage offen: wie berechne ich den Abstand eines Punktes von einer Ebene?
Vielen Dank schonmal.
mfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Sa 25.03.2006 | | Autor: | metzga |
So hab jetzt mal in meinen Unterlagen nach geschaut:
Du musst den Punkt in die Hesse Form einsetzen und den Betrag davon nehmen. Im Anhang hab ich von meinen alten Abi Buch die Seiten dazu eingescannt. Ist die Herleitung und ein Beispiel dabei.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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