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| Aufgabe | Gegeben zwei Geraden [mm]E [/mm] und [mm]F [/mm]. Gesucht die Gleichung der Ebene [mm] F'[/mm], die aus der Ebene [mm] F[/mm] durch Spiegelung an der Ebene [mm] E[/mm] hervorgeht.
[mm]E:\ 0x \ + \ 0y \ + \ 1z \ = \ 2 \ [/mm]
und
[mm]F: \ 2x \ + \ 3y \ + \ 3z \ = \ 10 [/mm]
mit dem Punkt [mm] P \ = \ ( 2 / \ -3 / \ 5)[/mm]
Weiter ist gegeben:
Die Schnittgerade [mm]s: \overrightarrow{x}
\ = \ \begin{pmatrix} 1 \\ \bruch{2}{3} \\ 2 \end{pmatrix}
\ + \ u* \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm] mit [mm] u \in \IR [/mm]
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*** nic rumgepostet ***
Da [mm] E [/mm] parallel zur [mm]X-Y- [/mm]Ebene liegt, können wir vorerst einfach den Punkt [mm]P [/mm] der Ebene [mm]F[/mm] an der Ebene [mm] E [/mm] spiegeln, da ich nur die [mm]z-[/mm]Koordinate betrachten muss:
[mm]P \ = \ (2 \ / -3 \ / \ 5) [/mm]
Abstand von [mm]P [/mm] zur Ebene [mm]E[/mm]: [mm]5 \ - \ 2 \ = 3 [/mm]
Abstand von [mm]P' [/mm] von der Ebene [mm]E[/mm]: [mm] 2 \ - 3 \ = \ -1 [/mm]
[mm]P' \ = \ (2 \ / -3 \ / \ -1) [/mm]
Weiter habe ich auf der Schnittgeraden einen Punkt [mm]S \in s \ , S \ = \ ( 1 \ / \bruch{2}{3} \ / \ 2)[/mm]
Ich verbinde nun [mm]S[/mm] und [mm]P'[/mm] mit einem Vektor, der in der Ebene [mm]F'[/mm] liegt.
Auch die Schnittgerade [mm]s[/mm] liegt in [mm]F'[/mm] und liefert einen zweitern Vektor.
Mit zwei Vektoren kann ich mittels Vektorprodukt den zu beiden normalen Vektor
[mm] \overrightarrow{n}_{F'} [/mm] finden, der die Neigung der Ebene [mm]F' [/mm] definiert.
Ansatz [mm]F': \ ax \ + \ by \ + \ cz \ + \ d = \ 0 [/mm]
Dem Normalenvektor entnehme ich die Komponenten [mm] a, b [/mm] und [mm] c [/mm], wärend ich [mm]d[/mm] durch Einsetzen des Punktes [mm]P' [/mm] finden sollte.
Ist der Weg bisher einigermassen sinnvoll?
Gruss aus Zürich
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:07 So 02.07.2006 | | Autor: | jerry |
Hallo Beni Müller,
das klingt alles ganz vernünftig.
hätte ich genauso gemacht.
gruß benjamin
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Dank Hinweisen von disap überarbeitet 02.07.06 12:25 Beni
In Zahlen ausgedrückt gibt das:
[mm]\overrightarrow{p} \ = \ \overrightarrow{S \red{P'}} \ = \ \overrightarrow{O \red{P'}} \ - \ \overrightarrow{OS}
\ = \ \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}
\ - \ \begin{pmatrix} 1 \\ \bruch{2}{3} \\ 2 \end{pmatrix}
\ = \ \begin{pmatrix} 1 \\ \bruch{-11}{3} \\ -3 \end{pmatrix} [/mm]
Auf der Schnittgeraden[mm]s [/mm] haben wir den Punkte [mm]S \ = \red{(1 / \bruch{1}{\bruch{2}{3}} /2)} [/mm] und finden einen weiteren durch Einsetzen von [mm]u \ = \ 1 [/mm] in die Gleichung der Schnittgeraden:
[mm]
s: \overrightarrow{x} \ = \ \begin{pmatrix} 1 \\ \bruch{2}{3} \\ 2 \end{pmatrix}
\ + \ u* \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\overrightarrow{OU}
\ = \ \begin{pmatrix} 1 \\ \bruch{2}{3} \\ 2 \end{pmatrix}
\ + \ \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}
\ = \ \begin{pmatrix} 4 \\ \bruch{-4}{3} \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm]\overrightarrow{s} \ = \ \overrightarrow{SU}
\ = \ \red{ \overrightarrow{OU} \ - \ \overrightarrow{OS}}
\ = \ \red{\begin{pmatrix} 4 \\ \bruch{-4}{3} \\ 2 \end{pmatrix}
\ - \ \begin{pmatrix} 1\\ \bruch{2}{3} \\ 2 \end{pmatrix}
\ =\ \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}}
[/mm]
Nun die Normale zur Spiegelebene mittels Vektorprodukt:
[mm] \overrightarrow{n}_{F'}
\ = \ \overrightarrow{p} \ \times \ \overrightarrow{s}
\ = \ \begin{pmatrix} 1 \\ \bruch{-11}{3} \\ -3 \end{pmatrix}
\ \times \ \red{\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}
\ =\ \begin{pmatrix} -6 \\ -9 \\ 9 \end{pmatrix}}
[/mm]
Ansatz [mm]F': \ ax \ + \ by \ + \ cz \ + \ d = \ 0 [/mm]
Die Komponenten der Normalen einsetzen:
[mm] \red{\ -6x \ - \ 9y \ + \ 9z \ = \ -d} [/mm]
Einsetzen des Punktes [mm]P' = (2 / -3 / -1) [/mm]:
[mm] \red{-6*(2) \ - \ 9*(-3) \ + \ 9*(-1) \ = \ -d} [/mm]
[mm] -12 \ + \ 27 \ - \ 9 \ = \ 6 [/mm]
Die Gleichung der gespiegelten Ebene lautet demnach:
[mm]F': \red{\ -6x \ - \ 9y \ + \ 9z \ - \ 6 = \ 0} [/mm]
Nun können wir noch etwa mit Punkt [mm]S \ = \ (1 / \bruch{2}{3} / 2) [/mm] testen:
[mm]\red{-6*1 \ - \ \bruch{9*2}{3} \ + \ 9*2 \ - \ 6 \ = \ 0} [/mm]
Was OK ist.
Mit der Bitte um (erneute) kritische Durchsicht grüsst aus Zürich
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:15 So 02.07.2006 | | Autor: | jerry |
Guten Morgen,
sieht gut aus bis auf zwei wahrscheinlcih flüchtigkeitsfehler. vielleicht auf die späte stunde zu schieben =)
als du den vektor SU ausrechnen wolltest hast du dich verrechnet.
auch das einsetzen von dem punkt P' in F' stimmt nicht ganz.
da ist dir denke ich ein vorzeichenfehler untergekommen.
alles andere sah aber gut aus.
gruß benjamin
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:33 So 02.07.2006 | | Autor: | Disap |
Hi.
> In Zahlen ausgedrückt gibt das:
>
> [mm]\overrightarrow{p} \ = \ \overrightarrow{SP} \ = \ \overrightarrow{OP} \ - \ \overrightarrow{OS}
\ = \ \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}
\ - \ \begin{pmatrix} 1 \\ \bruch{2}{3} \\ 2 \end{pmatrix}
\ = \ \begin{pmatrix} 1 \\ \bruch{-11}{3} \\ -3 \end{pmatrix}[/mm]
Wenn du Kritik wünscht, dann mal hier, ich habe zumindest einige Schwierigkeiten beim Nachvollziehen, weil m. E. einiges durcheinander ist.
Du erzählst vom Vektor [mm] \overline{0P}. [/mm] Nimmst aber den Vektor [mm] \overline{0P'} [/mm] , der Punkt P lautet nämlich $ P \ = \ (2 \ / -3 \ / \ 5) $
Irgendetwas stimmt hier also schon nicht...
> Auf der Schnittgeraden$ s $ haben wir den Punkte $ S \ = (2 / -3 / -1) $ und finden einen weiteren durch Einsetzen von $ u \ = \ 1 $ in der Gleichung der Schnittgeraden:
Gerade hast du den Punkt aber noch P' bzw. P bezeichnet. Und S (also der Vektor 0S war $ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ \bruch{2}{3} \\ 2 \end{pmatrix}$
[/mm]
In der Aufgabenstellung stand: Die Schnittgerade $ s: [mm] \overrightarrow{x} [/mm] \ = \ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ \bruch{2}{3} \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] \ + \ [mm] u\cdot{} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] $ mit $ u [mm] \in \IR [/mm] $
Nun schreibst du: Auf der Schnittgeraden$ s $ haben wir den Punkte $ S \ = (2 / -3 / -1) $
Das stimmt nicht. Der Punkt (2 / -3 / -1) liegt nicht auf der Schnittgeraden. Oder stellst du hier eine neue Schnittgerade auf? Für mich ist das jedenfalls auf Anhieb nicht nachvollziehbar. Im vorherigen Thread steht: Weiter habe ich auf der Schnittgeraden einen Punkt $ S [mm] \in [/mm] s \ , S \ = \ ( 1 \ / [mm] \bruch{2}{3} [/mm] \ / \ 2) $
Das würde vielleicht Sinn machen.
Und weiter:
> $ [mm] \overrightarrow{s} [/mm] \ = \ [mm] \overrightarrow{SU} [/mm] \ = \ [mm] \overrightarrow{OS} [/mm] \ - \ [mm] \overrightarrow{OU} [/mm] \ = \ [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] \ - \ [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ \bruch{-4}{3} \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] \ - \ [mm] \begin{pmatrix} -2 \\ \bruch{-5}{3} \\ -3 \end{pmatrix} [/mm] $
Beim Vektor SU schreibt man dann normalerweise [mm] \overline{0U}-\overline{0S}. [/mm] Aber das ist ja spitzfinderisch.
Wo kommt nun eigentlich
> $ [mm] \overrightarrow{s} [/mm] \ = \ [mm] \overrightarrow{SU} [/mm] \ = \ [mm] \overrightarrow{OS} [/mm] \ - \ [mm] \overrightarrow{OU} [/mm] \ = \ [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] \ - \ [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ \bruch{-4}{3} \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] \ - \ [mm] \begin{pmatrix} -2 \\ \bruch{-5}{3} \\ -3 \end{pmatrix} [/mm] $
der Vektor 0S her. Oben hast du ihn noch ganz anders bezeichnet. Und diesen Vektor hattest du vorher auch nicht irgendwie hergeleitet.
Äusserst verwirrt:
Disap
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 So 02.07.2006 | | Autor: | BeniMuller |
Hallo Disap
Danke für Deine Mühe.
Ich rechne normalerweise alles im Mathematica und übertrage es dann (von Hand) in Latex fürs Forum. Da können schon mal Fehler passieren. Dann bin ich auch zu ungeduldig, um jede Formel durchzulesen und zu überprüfen, aber ich sehe ja ein, dass es unumgänglich ist.
Ich wäre durchaus an Deinem alternativen Lösungsweg interessiert.
Gruss Beni
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:46 So 02.07.2006 | | Autor: | Disap |
Servus!
> Ich wäre durchaus an Deinem alternativen Lösungsweg
> interessiert.
Man könnte sich einfach drei Punkte der Ebene E heraussuchen und die einzeln an der Ebene F spiegeln. Das geht, solange die Vektoren nicht linearabhängig sind. Bei den drei Punkten kommt man auf drei gespiegelte Punkte, aus denen man dann fix eine Parameterform machen kann.
Na gut, fix ist jetzt nicht der passende Ausdruck, da es vielleicht etwas länger ist, als der von dir vorgeschlagene Lösungsweg...
Aber falls man auf die Koordinatenform kommen möchte, reicht es auch, zwei Punkte zu spiegeln. Einmal einen Punkt A von der Ebene E [mm] \Rightarrow [/mm] man erhält A'. Nun suchen wir uns einen zweiten Punkt der Ebene E, nennen wir ihn B, an B packen wir nun den Normalenvektor dran, sodass wir die Gerade [mm] g:\vec{x} [/mm] erhalten. Diese können wir an der Ebene F spiegeln (Gerade spiegeln an Ebene) und wir erhalten den Normalenvektor der gespiegelten Ebene.
MfG!
Disap
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:10 Mo 03.07.2006 | | Autor: | BeniMuller |
Hallo Disap
Wie der Betreff schon sagt, sei Dir herzlich gedankt.
Ich glaube, ich spare mir die Plackerei in diesem Fall, da ich mir Dir einig gehe, dass der Rechenaufwand nicht wirklich kleiner wird.
Herzlich grüsst aus Zürich
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:35 So 02.07.2006 | | Autor: | Disap |
Grüezi.
> Gegeben zwei Geraden $ E $ und $ F $. Gesucht die Gleichung der Ebene $ F' $, die aus der Ebene $ F $ durch Spiegelung an der Ebene $ E $ hervorgeht.
Das soll sicher "Gegeben zwei Ebenen $ E $ und $ F $" heissen?
Gruss
Disap
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:17 So 02.07.2006 | | Autor: | BeniMuller |
Tatsächlich spiegeln sich in der hitzebedingten Fatamorgana hier Ebenen und nicht Geraden.
Danke + Gruss aus Zürich
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Du hast alles richtig gerechnet, wenn dein Ansatz denn richtig war. Laut Jerry war er es ja -> ich hätte wohl einen anderen genommen.
