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Hallo!
Mich beschäftigt gerade die folgende Aufgabe:
Gegeben sind:
Gerade g : x= (1/1/-1) + k*( 1/-1/-1)
sowie:
Ebene 1: 1*x1+ 2*x2 - 1*x3=4
Aufgabe:
1.) Zeige: Die Gerade g liegt in der Ebene 1
2.) Gib eine Ebene 2 an, die ebenfalls g enthäklt, sodass g Schnittgerade von Ebene 1 und Ebene 2 ist!
Außerdem sind 3 Vorgehensschritte gegeben:
1.) 3 Punkte der Ebene 1 bestimmen
2.) Nachweis das die Ebene 1 die Gerade enthält mittels Linearem Gleichungssystem
3.) Eine Ebene 2 bestimmen, die ebenfalls g enthält
Die ersten beiden Schritte sind kein Problem. Hab z.B die Punkte A(1/0/0), B(1/2/3) und C(0/-1/-1) genommen und konnte auch nachweisen das die Ebene die Gerade enthält.
Nun frage ich mich allerdings wie ich den zweiten Aufgabenteil lösen soll. Kann ich einfach drei komplett neue Punkte wählen, die die angegebene Ebenengleichung erfüllen? Oder muss ich bei der Wahl der Punkte etwas besondere beachten, da die gerade ja Schnittgerade der beiden Ebenen sein soll??
Wäre für jede Hilfe dankbar!
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Aloha hé,
zu deiner Frage würde ich sagen: Hängt davon ab, wieviel Aufwand du treiben willst :)
Eine Gerade wird in Vektorschreibweise dargestellt als [tex] g: \overrightarrow{a} + r* \overrightarrow{x} [/tex].
Eine Ebene hingegen wird - sofern ihr noch nichts von der 'Normalenform' gehört habt - zumeist beschrieben durch: [tex] E: \overrightarrow{b} + s* \overrightarrow{ y_{1} } + t* \overrightarrow{ y_{2} } [/tex]
Wenn du also nachgewiesen hast, dass deine Gerade g ind Ebene E liegt, ist dir doch schon gut geholfen. Du weißt, dass du eine zweite Ebene F finden sollst, für die gilt:
E [mm] \not= [/mm] F und E [mm] \cap [/mm] F = g.
Es genügt deiner Aufgabenstellung also, aus deiner Geradengleichung für g eine Ebenengleichung für f zu konstruieren.
Wie macht man das?
Du weißt, dass g sowohl in F als auch in E liegen soll - das nutzt du aus:
[tex] F: \overrightarrow{a} + r* \overrightarrow{x} + q* \overrightarrow{z} [/tex]
Die Ebene F kann auf jeden Fall dadurch angegeben werden, dass du den Aufvektor und den Richtungsvektor der Geraden g hernimmst. Egal wie dein zweiter Richtungsvektor nun ausschaut, die Gerade g liegt somit definitiv drin. Jetzt musst du nur noch einen Vektor [mm] \overrightarrow{z} [/mm] finden, so dass F und E eben nicht die gleiche Ebene sind. Da du aus den Voraufgaben ja weißt, wie Ebene E sich verhält, sollte es nicht allzu schwer sein, einen Punkt zu finden, der nicht in E liegt. :)
Natürlich kannst du auch auf die bereits gesammelten Erkenntnisse pfeifen und dir neue Punkte suchen, die gar nichts mit den Vektoren von Gerade g zu tun haben. Könnte mir nur vorstellen, dass es sehr arg schwierig wird, durch 'Ausprobieren' zeitnah auf günstige Werte zu kommen.
Namárie,
sagt ein Lary, wo dann mal in's Bett huscht
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Hm, das heißt also ich könnte dann zur Bestimmung der Ebene 2 zum Beispiel die drei Punkte D(1/1/-1), E(1/-1/-1) und E (3/2/1) verwenden???
Also ein Punkt der auch auf Ebene 1 liegt (Stützvektor der Gerade) und zwei Punkte, die nicht auf Ebene 1 liegen.
Ist das so richtig????
Wäre für eine weitere Hilfe dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 So 28.01.2007 | | Autor: | riwe |
Gegeben sind:
Gerade g : x= (1/1/-1) + k*( 1/-1/-1)
am einfachsten hängst du einfach einen beliebigen vektor an:
g: [mm] \vec{x}=\vektor{1\\1\\-1}+k\vektor{1\\-1\\-1}
[/mm]
E: [mm] \vec{x}=\vektor{1\\1\\-1}+k\vektor{1\\-1\\-1}+s\vektor{a\\b\\c} [/mm] mit a, b, c nicht alle = 0, sonst beliebig.
( wie du siehst, liegt für s= 0 g in E!)
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Also, wenn ich jetzt die Punkte D(1/1/-1), E(1/-1/1) und F (3/2/1) nehmen würde.
Dann erhalte ich die Ebenengleichung:
Ebene 2: x= (1/1/-1) + m*( 0/-2/-2) + n*(2/1/-2)
Das müsste doch dann eine Ebene 2 sein, die die Aufgabenstellung erfüllt oder??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 So 28.01.2007 | | Autor: | riwe |
da hast du dich vermutlich verrechnet, heißt es vielleicht: m*(2/-2/-2)?
dann ist es richtig, und entspricht dem , was ich dir geschrieben habe.
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Ja, ich habe mich verrechnet. Komme aber trotzdem auf ein anderes Ergebnis als du.
Wenn ich die Punkte D(1/1/-1), E(1/-1/1) und F (3/2/1) nehme, dann komme ich jetzt auf.
Ebene 2: x= (1/1/-1) + m*( 1-1/-1-1/1-(-1)) + n*(3-1/2-1/1-(-1))
also:
Ebene 2: x= (1/1/-1) + ,*( 0/-2/2) +n*(2/1/2)
Oder ist das falsch???
Wäre nett wenn mir nochmal jemand helfen könnte.
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So, ich habe jetzt mal versucht mit den Punkten D(1/1/-1), E(1/-1/-1) und F (3/2/1) eine Ebenengleichung aufzustellen und nachzuweisen das die Ebene g enthält. Allerdings komme ich jetzt auf eine Lösung für das Gleichungssytem, was ja nicht richtig sein kann.
Wenn ich das richtig verstanden habe, muss ich doch um nachzuweisen, dass die Ebene g enthält, drei Punkte wählen, die die Ebenengleichung
1*x1+2*x2-1*x3=4 erfüllen.
Oder habe ich das falsch verstanden???
Kann mir irgendjemand helfen???
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Niemand der mir helfen kann???
Ich habe halt noch nicht verstanden, welche 3 Punkte ich zum Ermitteln einer Ebene 2 nehmen kann/soll. Müssen sie besondere Bedingungen erfüllen???
Wäre wirklich nett, wenn mir diesbezüglich jemand eine Antwort geben könnte.
Vielen Dank schon mal im Vorraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:23 Mo 29.01.2007 | | Autor: | riwe |
> Niemand der mir helfen kann???
>
> Ich habe halt noch nicht verstanden, welche 3 Punkte ich
> zum Ermitteln einer Ebene 2 nehmen kann/soll. Müssen sie
> besondere Bedingungen erfüllen???
>
> Wäre wirklich nett, wenn mir diesbezüglich jemand eine
> Antwort geben könnte.
>
> Vielen Dank schon mal im Vorraus!
wenn es dir eh schon so schwer fällt, wieso machst du es dann noch komplizierter, als es eh schon ist.
vergiß doch die punkte usw.
und mache es so, wie ich oben geschrieben habe und nun wiederhole:
Gegeben sind:
Gerade g : x= (1/1/-1) + k*( 1/-1/-1)
am einfachsten hängst du einfach einen beliebigen vektor an:
g: [mm] \vec{x}=\vektor{1\\1\\-1}+k\vektor{1\\-1\\-1}
[/mm]
E: [mm] \vec{x}=\vektor{1\\1\\-1}+k\vektor{1\\-1\\-1}+s\vektor{a\\b\\c} [/mm] mit a, b, c nicht alle = 0, sonst beliebig, siehe weiter unten.
( wie du siehst, liegt für s= 0 g in E!)
also JEDE ebene die du so erstellst, erfüllt deine wünsche, z.b:
[mm] E_1: \vec{x}=\vektor{1\\1\\-1}+k\vektor{1\\-1\\-1}+s\vektor{1\\1\\1}
[/mm]
[mm] E_2: \vec{x}=\vektor{1\\1\\-1}+k\vektor{1\\-1\\-1}+s\vektor{1\\0\\2}
[/mm]
[mm] E_3: \vec{x}=\vektor{1\\1\\-1}+k\vektor{1\\-1\\-1}+s\vektor{1\\2\\3}
[/mm]
natürlich mußt du a,b,c so wählen, dass die beiden richtungsvektoren nicht linear abhängig, also vielfache von einander sind.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:47 Mi 31.01.2007 | | Autor: | Sigrid |
Hallo VivaColonia,
> Ja, ich habe mich verrechnet. Komme aber trotzdem auf ein
> anderes Ergebnis als du.
> Wenn ich die Punkte D(1/1/-1), E(1/-1/1) und F (3/2/1)
> nehme, dann komme ich jetzt auf.
Hier ist der Haken. Wenn du so willkürlich Punkte wählst, ist es reiner Zufall, wenn g die Schnittgerade ist.
Wähle zwei Punkte auf g und einen beliebigen anderen, der nicht auf der Ebene 1 liegt. Dann bist du sicher, dass g Schnittgerade ist und die beiden Ebenen verschieden sind.
Gruß
Sigrid
>
> Ebene 2: x= (1/1/-1) + m*( 1-1/-1-1/1-(-1)) +
> n*(3-1/2-1/1-(-1))
> also:
> Ebene 2: x= (1/1/-1) + ,*( 0/-2/2) +n*(2/1/2)
>
> Oder ist das falsch???
>
> Wäre nett wenn mir nochmal jemand helfen könnte.
>
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