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| Aufgabe 1 | | Bestimme eine Gleichung der Ebene im Raum [mm] \IR^3 [/mm] die die drei Punkte [mm] A=\vektor{2 \\ 0 \\ 0},B=\vektor{3 \\ 1 \\ 0}, C=\vektor{4 \\ 2 \\ 1} [/mm] enthält. |
| Aufgabe 2 | Bestimme eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden folgender beider Ebenen im Raum [mm] \IR^3:
[/mm]
[mm] \varepsilon_{1}: [/mm] x+y-2z = -3, [mm] \varepsilon_{2}: [/mm] 3x-2y-z=-4 |
| Aufgabe 3 | Bestimme den Schnittwinkel zwischen der durch die Gleichung
[mm] \wurzel{2}x-y+z=17 [/mm] gegebene Ebene und der durch die Parameterdarstellung
[mm] \vektor{5 \\ 6 \\ 7} [/mm] + t [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ -3} [/mm]
gegebenen Gerade in [mm] \IR^3. [/mm] |
Hallo!
zu 1)
Ich hab das so gelöst, dass ich die Vekoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] gebildet habe und dann das Kreuzprodukt der beiden berechnet habe.
[mm] \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}=\vektor{1 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
Diesen Vektor habe ich als Normalvektor der Ebene genommen und als Ebenengleichung
x - y = d
aufgestellt. Dann einen der drei Punkte eingesetzt und ich erhalte als Ebenengleichung:
x - y = 2
Stimmt das so? (Ist das okay,dass es da kein z gibt?)
zu 2) Da hab ich keine Ahnung. Muss ich da die beiden Normalvektoren der Ebenen bilden und dann die beiden subtrahieren für einen Richtungsvektor einer Geraden?
zu 3) Durch die Ebene ergibt sich der Normalvektor [mm] \overrightarrow{n} [/mm] = [mm] \vektor{\wurzel{2} \\ -1 \\ 1}.
[/mm]
Den Winkel rechne ich mir aus mit [mm] \alpha [/mm] = 90° - [mm] \alpha'
[/mm]
und den [mm] \alpha' [/mm] bekomm ich aus:
cos( [mm] \alpha' [/mm] ) = [mm] \bruch{<\overrightarrow{n},\overrightarrow{a}>}{||\overrightarrow{n}|| * ||\overrightarrow{a}||} [/mm] mit [mm] \overrightarrow{a}=\vektor{0 \\ 3 \\ -3} [/mm] der Richtungsvektor der Geraden.
Wenn ich jetzt [mm] <\overrightarrow{n},\overrightarrow{a}> [/mm] ausrechne erhalte ich [mm] <\overrightarrow{n},\overrightarrow{a}>=\wurzel{\wurzel{2}*0+(-1)*3+1*(-3)}=\wurzel{-6}
[/mm]
und [mm] ||\overrightarrow{n}||=\wurzel{\wurzel{2}^2+1+1}=2, [/mm] sowie [mm] ||\overrightarrow{a}||=\wurzel{18}
[/mm]
Gut, nur, was fang ich mit einem komplexen inneren Produkt an?
Vielen Dank im Vorraus,
Rebell der Sonne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 Mi 05.11.2008 | | Autor: | abakus |
> Bestimme eine Gleichung der Ebene im Raum [mm]\IR^3[/mm] die die
> drei Punkte [mm]A=\vektor{2 \\ 0 \\ 0},B=\vektor{3 \\ 1 \\ 0}, C=\vektor{4 \\ 2 \\ 1}[/mm]
> enthält.
> Bestimme eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden
> folgender beider Ebenen im Raum [mm]\IR^3:[/mm]
> [mm]\varepsilon_{1}:[/mm] x+y-2z = -3, [mm]\varepsilon_{2}:[/mm] 3x-2y-z=-4
> Bestimme den Schnittwinkel zwischen der durch die
> Gleichung
> [mm]\wurzel{2}x-y+z=17[/mm] gegebene Ebene und der durch die
> Parameterdarstellung
> [mm]\vektor{5 \\ 6 \\ 7}[/mm] + t [mm]\vektor{0 \\ 3 \\ -3}[/mm]
> gegebenen Gerade in [mm]\IR^3.[/mm]
> Hallo!
>
> zu 1)
> Ich hab das so gelöst, dass ich die Vekoren
> [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] gebildet habe
> und dann das Kreuzprodukt der beiden berechnet habe.
Warum so umständlich? Nimm [mm] \overrightarrow{OA} [/mm] als Stützvektoer und [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] bzw. [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] als Spannvektoren.
> [mm]\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}=\vektor{1 \\ -1 \\ 0}[/mm]
>
> Diesen Vektor habe ich als Normalvektor der Ebene genommen
> und als Ebenengleichung
> x - y = d
> aufgestellt. Dann einen der drei Punkte eingesetzt und ich
> erhalte als Ebenengleichung:
> x - y = 2
>
> Stimmt das so? (Ist das okay,dass es da kein z gibt?)
>
> zu 2) Da hab ich keine Ahnung. Muss ich da die beiden
> Normalvektoren der Ebenen bilden und dann die beiden
> subtrahieren für einen Richtungsvektor einer Geraden?
Das Kreuzprodukt der beiden Normalenvektoren ist ein Richtungsvektor der Schnittgeraden.
>
> zu 3) Durch die Ebene ergibt sich der Normalvektor
> [mm]\overrightarrow{n}[/mm] = [mm]\vektor{\wurzel{2} \\ -1 \\ 1}.[/mm]
> Den
> Winkel rechne ich mir aus mit [mm]\alpha[/mm] = 90° - [mm]\alpha'[/mm]
> und den [mm]\alpha'[/mm] bekomm ich aus:
> cos( [mm]\alpha'[/mm] ) =
> [mm]\bruch{<\overrightarrow{n},\overrightarrow{a}>}{||\overrightarrow{n}|| * ||\overrightarrow{a}||}[/mm]
> mit [mm]\overrightarrow{a}=\vektor{0 \\ 3 \\ -3}[/mm] der
> Richtungsvektor der Geraden.
> Wenn ich jetzt [mm]<\overrightarrow{n},\overrightarrow{a}>[/mm]
> ausrechne erhalte ich
> [mm]<\overrightarrow{n},\overrightarrow{a}>=\wurzel{\wurzel{2}*0+(-1)*3+1*(-3)}=\wurzel{-6}[/mm]
> und [mm]||\overrightarrow{n}||=\wurzel{\wurzel{2}^2+1+1}=2,[/mm]
> sowie [mm]||\overrightarrow{a}||=\wurzel{18}[/mm]
> Gut, nur, was fang ich mit einem komplexen inneren Produkt
> an?
>
> Vielen Dank im Vorraus,
> Rebell der Sonne
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Danke erstmal!
ad 2) Da erhalte ich als Kreuzprodukt den Vektor [mm] \vektor{-5 \\ -5 \\ -5} [/mm] also [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] und was nehm ich jetzt als Punkt?
ad 3) Entweder hab ich keine Antwort gefunden oder die Frage nicht klar formuliert: Was bedeutet ein komplexes inneres Produkt? bzw. Wie berechne ich da den Schnittwinkel?
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Hallo!
Zu 2)
Den Schnittpunkt mußt du dir auch noch berechnen.
Dazu löst du das Gleichungssystem bestehend aus den beiden Ebenengleichungen.
Dieses ist aber nicht eindeutig lösbar, sondern es wird von einem Parameter abhängen. Das ist aber auch klar, denn es gibt ja eine Schnittgrade, und die besitzt unendlich viele Lösungen entlang einer Richtung.
Beispielsweise könnte alles von z abhängen, dann kommst du auf sowas wie
$x= [mm] \Box* [/mm] z+a$
$y= [mm] \Box [/mm] *z+b$
$z= z$
Nun der Trick. Schreibe rechts einfac [mm] \lambda [/mm] statt z:
$x= [mm] \Box* \lambda+a\\$
[/mm]
$y= [mm] \Box *\lambda+b\\$
[/mm]
$z= [mm] \lambda$
[/mm]
und das heißt:
[mm] \vec{x}=\lambda*\vektor{\Box \\ \Box \\ 1}+\vektor{a\\b\\0}
[/mm]
Demnach ist die Idee, aus den Normalenvektoren den Richtungsvektor zu machen zwar richtig, aber überflüssig.
zu 3)
Woher kommt denn deine Wurzel? Im Skalarprodukt gibt es keine Wurzel. Und dann darf es auch gerne negativ sein.
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