Ebenendarstellung Parallelogr. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:24 Mo 10.07.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | In einem Parallelogramm ABCE seien die Punkte A(3;-2;3), B(4;0;1) und M(6;3;7) gegeben (Anordnung gegen Uhrzeigersinn mit A links unten). Bekanntlich werden die Diagoanlen im Schnittpunkt M halbiert.
a) Ermitteln Sie die Länge AB
b) Ermitteln Sie die Parameterdarstellung der Ebene durch ABM
Durch welche Parameter erhält man den Ortsvektor zum Eckpunkt C?
c) Suchen Sie den _Vektor v der senkrecht auf ABM steht, sodass er in der Skizze nach unten zeigt
d) Besimmen Sie den cos des Winkels bei A zwischen der Seite AB und der Diagonalen AC |
meine Lsg zu a):
[mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 1} [/mm] - [mm] \vektor{3 \\ -2 \\ 3} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 2}
[/mm]
Länge eines Vektors = sein Betrag => Länge AB = Wurzel aus
[mm] (1^{2} [/mm] + [mm] (-2^{2}) [/mm] + [mm] 3^{2}) [/mm] = Wurzel 6
meine LSG zu b):
ist es korrekt, dass ich zum Punkt D gelange, mit 2* [mm] \underline{AM} [/mm] (das entspricht [mm] \underline{AC} [/mm] ) minus [mm] \underline{BA} [/mm] (weil [mm] \underline{BA} [/mm] entspircht doch [mm] \underline{DC} [/mm] ) gelange?
demnach wäre meine Ebene also:
E= [mm] \vektor{3 \\ -2 \\ 3} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 2} [/mm] + [mm] \mu [/mm] 2* [mm] \underline{AM} [/mm] - [mm] \underline{BA} [/mm] * [mm] \vektor{3 \\ -2 \\ 3}
[/mm]
Sind alle bisherigen Angaben so korrekt?
zu c): einen senkrechten Vektor auf [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] erhält man doch z.B. durch [mm] \vektor{-z \\ y \\ x}. [/mm] Aber wie finde ich einen Vektor, der senkrecht auf einer Ebene liegt und nach unten zeigt?
zu d): das wird wohl irgendwie über das Skalarprodukt gehen, weil da ja ein cos definiert ist. Aber wie?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> In einem Parallelogramm ABCE seien die Punkte A(3;-2;3),
> B(4;0;1) und M(6;3;7) gegeben (Anordnung gegen
> Uhrzeigersinn mit A links unten). Bekanntlich werden die
> Diagoanlen im Schnittpunkt M halbiert.
> a) Ermitteln Sie die Länge AB
> b) Ermitteln Sie die Parameterdarstellung der Ebene durch
> ABM
> Durch welche Parameter erhält man den Ortsvektor zum
> Eckpunkt C?
> c) Suchen Sie den _Vektor v der senkrecht auf ABM steht,
> sodass er in der Skizze nach unten zeigt
> d) Besimmen Sie den cos des Winkels bei A zwischen der
> Seite AB und der Diagonalen AC
> meine Lsg zu a):
>
> [mm]\vektor{4 \\ 0 \\ 1}[/mm] - [mm]\vektor{3 \\ -2 \\ 3}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 2}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Rechenfehler bei den Vorzeichen
[mm] $\vektor{1 \\ 2 \\-2}$ [/mm] mit dem Betrag 3
>
> Länge eines Vektors = sein Betrag => Länge AB = Wurzel aus
> [mm](1^{2}[/mm] + [mm](-2^{2})[/mm] + [mm]3^{2})[/mm] = Wurzel 6
>
falsche Komponenten im Vektor
>
> meine LSG zu b):
>
> ist es korrekt, dass ich zum Punkt D gelange, mit 2*
> [mm]\underline{AM}[/mm] (das entspricht [mm]\underline{AC}[/mm] ) minus
> [mm]\underline{BA}[/mm] (weil [mm]\underline{BA}[/mm] entspircht doch
> [mm]\underline{DC}[/mm] ) gelange?
[mm] $\vec{OD}=\vec{OA}+2*\vec{AM}$
[/mm]
>
> demnach wäre meine Ebene also:
> E= [mm]\vektor{3 \\ -2 \\ 3}[/mm] + [mm]\lambda[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 2}[/mm]
> + [mm]\mu[/mm] 2* [mm]\underline{AM}[/mm] - [mm]\underline{BA}[/mm] * [mm]\vektor{3 \\ -2 \\ 3}[/mm]
>
> Sind alle bisherigen Angaben so korrekt?
Vergleiche selbst mit $-71+18*x-10*y-z = 0$ als Koordinatengleichung.
>
> zu c): einen senkrechten Vektor auf [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
> erhält man doch z.B. durch [mm]\vektor{-z \\ y \\ x}.[/mm] Aber wie
> finde ich einen Vektor, der senkrecht auf einer Ebene liegt
> und nach unten zeigt?
Das wird mir nicht klar, selbst wenn ich die Ebene vor mir auf dem Bildschirm habe. "nach unten" ????
>
> zu d): das wird wohl irgendwie über das Skalarprodukt
> gehen, weil da ja ein cos definiert ist. Aber wie?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Über die Definition des Cosinus!
[mm] $\bruch{<\vec{u};\vec{v}>}{|\vec{u} | \cdot | \vec{v}| } [/mm] = [mm] \cos(\gamma)$
[/mm]
Gruß
mathemak
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Mo 10.07.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | Ok, meine Vorzeichenfehler hab ich eingesehen und damit den von mir falsch angegebenen Betrag hab ich eingesehen.
Nochmal zurück zur Parameterdarstellung der Ebene:
Es ist doch gefordert, die Parameterdarstellung der Ebene zu ABM darzustellen. Eben hab ich mich eben wohl vertan. Da wollte ich die Parameterdarstellung der Ebene zu ABC (also das gesamte Parallelogramm) darstellen. |
Mit meinem neuen Ansatz für ABM komme ich dann zu folgender Lösung:
E_ABM = [mm] \vektor{3 \\ -2 \\ 3} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{4 - 3 \\ 0 - (-2) \\ 1 -3} [/mm] + [mm] \mu \vektor{6 - 3 \\ 3 -(-2) \\ 7 - 3} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ -2 \\ 3} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1 \\ 2 \\ -2} [/mm] + [mm] \mu \vektor{3 \\ 5 \\4}
[/mm]
Den Ortsvektor zum Eckpunkt C erhält man also durch 2 * Vektor AM = 2 * [mm] \vektor{6 - 3 \\ 3-(-2) \\ 7 - 3} [/mm] = 2 * [mm] \vektor{3 \\ 5 \\ 4} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ 10 \\ 8} [/mm] Richtig? (andererseits wäre das aber eine Skalarmuliplikation und ich bekäme eben keinen Vektor raus, was aber gefordert wurde!)
Mit dem senkrechten Vektor auf ABM der mit der Spitze nach unten zeigen soll, ist das so ne Sache ohne Skizze. Stell dir einen Vektor vor, der senkrecht zu der Ebene steht und zwar so, dass er mit der [b]Spitze in Richtung -y[-b] steht (Rechtssystem mit Koordinatenachsen x, y, z) Die Ebene ABM liegt dann ja auf der x,z-Ebene.
Nach der Definition des cos käme ich also auf cos [mm] (\alpha) [/mm] = 5 / Betrag von [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ -2 } [/mm] * Betrag von [mm] \vektor{3 \\ 5 \\ 4} [/mm] = 5 / Wurzel 5 * Wurzel 50 =
= 5 / Wurzel 225 = 5/15 = 1/3
Ist das alles jetzt so korrekt? Vielen Dank schonmal.
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> Ok, meine Vorzeichenfehler hab ich eingesehen und damit den
> von mir falsch angegebenen Betrag hab ich eingesehen.
>
> Nochmal zurück zur Parameterdarstellung der Ebene:
> Es ist doch gefordert, die Parameterdarstellung der Ebene
> zu ABM darzustellen. Eben hab ich mich eben wohl vertan. Da
> wollte ich die Parameterdarstellung der Ebene zu ABC (also
> das gesamte Parallelogramm) darstellen.
ABM und ABC legen die selbe Ebene fest. Das Parallelogramm ist eben!
> Mit meinem neuen Ansatz für ABM komme ich dann zu
> folgender Lösung:
>
> E_ABM = [mm]\vektor{3 \\ -2 \\ 3}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{4 - 3 \\ 0 - (-2) \\ 1 -3}[/mm]
> + [mm]\mu \vektor{6 - 3 \\ 3 -(-2) \\ 7 - 3}[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ -2 \\ 3}[/mm]
> + [mm]\lambda \vektor{1 \\ 2 \\ -2}[/mm] + [mm]\mu \vektor{3 \\ 5 \\4}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ergibt umgerechnet auf Koordinatenform
$-71+18*x-10*y-z = 0$
>
> Den Ortsvektor zum Eckpunkt C erhält man also durch 2 *
> Vektor AM = 2 * [mm]\vektor{6 - 3 \\ 3-(-2) \\ 7 - 3}[/mm] = 2 *
> [mm]\vektor{3 \\ 5 \\ 4}[/mm] = [mm]\vektor{6 \\ 10 \\ 8}[/mm] Richtig?
Es gilt immer noch
[mm] $\vec{OA} [/mm] +2 [mm] \cdot \vec{AM} [/mm] = [mm] \vec{Oc}$ [/mm] und damit D$( 9 [mm] \;|\; [/mm] 8 [mm] \; [/mm] | [mm] \;11)$.
[/mm]
> (andererseits wäre das aber eine Skalarmuliplikation und
> ich bekäme eben keinen Vektor raus, was aber gefordert
> wurde!)
>
> Mit dem senkrechten Vektor auf ABM der mit der Spitze nach
> unten zeigen soll, ist das so ne Sache ohne Skizze.
[Dateianhang nicht öffentlich]
> dir einen Vektor vor, der senkrecht zu der Ebene steht und
> zwar so, dass er mit der Spitze in Richtung -y[-b] steht
> (Rechtssystem mit Koordinatenachsen x, y, z) Die Ebene ABM
> liegt dann ja auf der x,z-Ebene.
>
> Nach der Definition des cos käme ich also auf cos [mm](\alpha)[/mm]
> = 5 / Betrag von [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ -2 }[/mm] * Betrag von
> [mm]\vektor{3 \\ 5 \\ 4}[/mm] = 5 / Wurzel 5 * Wurzel 50 =
> = 5 / Wurzel 225 = 5/15 = 1/3
>
> [b]Ist das alles jetzt so korrekt?
[mm] $\vec{AB} [/mm] = [mm] \vektor{ 1 \\ 2 \\ -2 }$ [/mm] und
[mm] $\vec{AM} [/mm] = [mm] \vektor{ 3 \\ 5 \\ 4 }$ [/mm] und
[mm] $\vec{AC} [/mm] = [mm] \vektor{ 6 \\ 3 \\ 0 } [/mm] = 2 [mm] \cdot \vec{AM}$
[/mm]
[mm] $|\; \vec{AB} \; [/mm] | = 3$ und $| [mm] \; \vec{AM} \; [/mm] | = [mm] 5\,\sqrt{2}$
[/mm]
und damit
[mm] $\cos(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{ 5 }{ 3 \cdot 5\,\sqrt{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3\,\sqrt{2}} [/mm] = [mm] \bruch{\sqrt{2}}{6}$
[/mm]
Gruß
mathemak
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Mo 10.07.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | | Ok, vielen, vielen Dank für deine Auskünfte. |
Jetz hätte ich blöß noch die Frage, wie man einen Vektor v findet, der senkrecht auf ABM steht, sodass er in der Skizze nach unten zeigt?!?
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Hallo!
Tipp:
Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren
oder
Normalenvektor aus der Koordinatenform der Ebene
Wenn er die falsche Richtung hat, dann [mm] $\cdot [/mm] (-1)$ nehmen!
Gruß
Markus
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