Ebenengleichung < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Sa 07.06.2008 | | Autor: | Jule_ |
| Aufgabe | | Gegeben sind 2 Punkte A und B une eine Ebene E. Bestimmen Sie eine Gleichung für eine Ebene F, für die gilt: F geht durch die Punkte A und B und ist orthogonal zu E. |
a) A(2/-1/7); B(0/3/9); E: [mm] 2x_1+2x_2+x_3=7
[/mm]
[mm] \vec{n_E}=\vektor{2 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vec{n_F}= [/mm] ? muss orthogonal zu [mm] \vec{n_E} [/mm] sein d.h Skalarprodukt [mm] \vec{n_E}*\vec{n_F}=0
[/mm]
Ich habe zunächst versucht eine Gleichung für F zu finden:
[mm] a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b
[/mm]
[mm] 2a_1-a_2+7a_3=b
[/mm]
[mm] 3a_2+9a_3= [/mm] b
da das LGS unendlich viele Lösungen hat, habe ich [mm] a_3=t [/mm] genommen
Damit bin ich aber auch nicht weiter gekommen.
Als Tipp zum Lösen steht am Rand, dass man sich überlegen soll ob man einfacher die Spannvektoren von F bestimmen kann oder den Normalenvektor!
Für die Spannvektoren brauche ich 3 Punkte, oder?
Ich denke der Normalenvektor ist besser zu ermitteln, nur wie?? Kann mir jemand einen Tipp geben?
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Hallo Jule_,
> Gegeben sind 2 Punkte A und B une eine Ebene E. Bestimmen
> Sie eine Gleichung für eine Ebene F, für die gilt: F geht
> durch die Punkte A und B und ist orthogonal zu E.
> a) A(2/-1/7); B(0/3/9); E: [mm]2x_1+2x_2+x_3=7[/mm]
>
> [mm]\vec{n_E}=\vektor{2 \\ 2 \\ 1}[/mm]
> [mm]\vec{n_F}=[/mm] ? muss
> orthogonal zu [mm]\vec{n_E}[/mm] sein d.h Skalarprodukt
> [mm]\vec{n_E}*\vec{n_F}=0[/mm]
>
> Ich habe zunächst versucht eine Gleichung für F zu finden:
>
> [mm]a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b[/mm]
>
> [mm]2a_1-a_2+7a_3=b[/mm]
> [mm]3a_2+9a_3=[/mm] b
>
> da das LGS unendlich viele Lösungen hat, habe ich [mm]a_3=t[/mm]
> genommen
> Damit bin ich aber auch nicht weiter gekommen.
>
> Als Tipp zum Lösen steht am Rand, dass man sich überlegen
> soll ob man einfacher die Spannvektoren von F bestimmen
> kann oder den Normalenvektor!
> Für die Spannvektoren brauche ich 3 Punkte, oder?
>
> Ich denke der Normalenvektor ist besser zu ermitteln, nur
> wie?? Kann mir jemand einen Tipp geben?
Die Spannvektoren kannst Du aus diesen Angaben schon berechnen.
Du hast also die Bedingung [mm]\vec{n_E}*\vec{n_F}=0[/mm].
[mm]\vec{n_E}[/mm] ist also ein Spannvektor der Ebene F.
Nun da die Punkte A,B auf der Ebene liegen sollen, gilt, gemäß [url=http://www.mathebank.de/wissen/Normalenform] Normalenform einer Ebene[/mm]:
[mm]\left(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{p}\right) \* \vec{n_F}=0[/mm]
bzw.
[mm]\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{p}\right) \* \vec{n_F}=0[/mm]
Substraktion dieser zwei Gleichungen liefert wieder einen Spannvektor der Ebene F. Ist dieser Spannvektor zu dem anderen Spannvektor linear abhängig, so liegt keine Ebene vor.
Somit läßt sich auch der Normalenvektor [mm]\vec{n_F}[/mm], der Ebene F ermittel n.
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Sa 07.06.2008 | | Autor: | Jule_ |
Zunächst mal Danke! Aber verstanden habe ich's leider nicht!!
Was muss ich denn für [mm] \vec{p} [/mm] einsetzen?
Gruß
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Hallo Jule_,
> Zunächst mal Danke! Aber verstanden habe ich's leider
> nicht!!
Du hast also 2 Punkte, A und B gegeben, sowie den Normalenvektor der Ebene E.
Da die Ebene F orthogonal zu E sein, gilt das auch für die Normalenvektoren der beiden Ebenen, d.h. es gilt [mm]\overrightarrow{n_E} \* \overrightarrow{n_F}=0[/mm]
Somit ist der Normalenvektor [mm]\overrightarrow{n_E}[/mm] ein Spannvektor der Ebene F, da dieser Spannvektor orthogonal zum Normalenvektor [mm]\overrightarrow{n_F}[/mm] ist.
Den zweiten Spannvektor bekommst Du, wenn der Vektor [mm]\overrightarrow{AB}=\overightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}[/mm] betrachtet wird
,wobei [mm]\overrightarrow{OB}[/mm] der Ortsvektor zum Punkt B und
[mm]\overrightarrow{OA}[/mm] der Ortsvektor zum Punkt A bedeuten.
Somit ist die Ebene F durch zwei Spannvektoren charakterisiert.
Nun kannst Du auch den Normalenvektor der Ebene F berechnen, den Du durch das Kreuzprodukt erhälst:
[mm]\overrightarrow{n_F}=\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{n_E}[/mm]
>
> Was muss ich denn für [mm]\vec{p}[/mm] einsetzen?
[mm]\overrightarrow{p}[/mm] ist zunächst mal ein beliebiger Punkt p auf der Ebene F.
>
> Gruß
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Sa 07.06.2008 | | Autor: | Jule_ |
> Hallo Jule_,
>
> > Zunächst mal Danke! Aber verstanden habe ich's leider
> > nicht!!
>
>
> Du hast also 2 Punkte, A und B gegeben, sowie den
> Normalenvektor der Ebene E.
>
> Da die Ebene F orthogonal zu E sein, gilt das auch für die
> Normalenvektoren der beiden Ebenen, d.h. es gilt
> [mm]\overrightarrow{n_E} \* \overrightarrow{n_F}=0[/mm]
>
> Somit ist der Normalenvektor [mm]\overrightarrow{n_E}[/mm] ein
> Spannvektor der Ebene F, da dieser Spannvektor orthogonal
> zum Normalenvektor [mm]\overrightarrow{n_F}[/mm] ist.
>
> Den zweiten Spannvektor bekommst Du, wenn der Vektor
> [mm]\overrightarrow{AB}=\overightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}[/mm]
> betrachtet wird
> ,wobei [mm]\overrightarrow{OB}[/mm] der Ortsvektor zum Punkt B und
> [mm]\overrightarrow{OA}[/mm] der Ortsvektor zum Punkt A bedeuten.
>
habe ich gemacht: [mm] \overrightarrow{AB}=\vektor{-2\\ 4 \\ 2}
[/mm]
> Somit ist die Ebene F durch zwei Spannvektoren
> charakterisiert.
>
> Nun kannst Du auch den Normalenvektor der Ebene F
> berechnen, den Du durch das
> Kreuzprodukt
> erhälst:
Kreuzprodukt: [mm] \vektor{-2\\ 4 \\ 2}X\vektor{2\\ 2 \\ 1}= \vektor{0\\ 6 \\ 12} [/mm] bzw. [mm] \vektor{0\\ 1 \\ -2}
[/mm]
Dann ist die F: [mm] x_2-2x_3=-15
[/mm]
richtig??
>
> [mm]\overrightarrow{n_F}=\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{n_E}[/mm]
>
> >
> > Was muss ich denn für [mm]\vec{p}[/mm] einsetzen?
>
> [mm]\overrightarrow{p}[/mm] ist zunächst mal ein beliebiger Punkt p
> auf der Ebene F.
>
> >
> > Gruß
>
> Gruß
> MathePower
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