Ebenengleichung < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Mi 21.11.2012 | | Autor: | Cloud123 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Ebenengleichung 7x - 5y + 8z - 30 = 0
a) Welchen Abstand hat die Ebene vom Koordinatenursprung
b) Welchen Abstand hat der Punkt P mit dem Ortsvektor [mm] \overrightarrow{r_p} [/mm] = [mm] (x_p [/mm] = 2, [mm] y_p [/mm] = 3, [mm] z_p [/mm] = 4) von der Ebene?
c) Liegen der Punkt und der Koordinatenursprung auf der gleichen Seite der Ebene?
d) Wie lautet die Vektorschreibweise der Geraden, die senkrecht zu der gegebenen Ebene durch den Punkt P verläuft? (mit getrennter Angabe der Komponenten der nicht-variablen Vektoren) |
Wie soll man das denn bitte lösen können wenn man es noch nie zuvor hatte?! Das ganze sagt mir gar nichts.
Im Internet hab ich mal wieder nichts dazu gefunden.
Hab absolut keine Ahnung was ich da machen soll.
Bitte kann mich jemand aufklären der Zeit hat oder vielleicht kennt jemand ne tolle Seite die das GUT erklärt (was ich mittlerweile bezweifle...)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Mi 21.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Gegeben ist die Ebenengleichung 7x - 5y + 8z - 30 = 0
>
> a) Welchen Abstand hat die Ebene vom Koordinatenursprung
> b) Welchen Abstand hat der Punkt P mit dem Ortsvektor
> [mm]\overrightarrow{r_p}[/mm] = [mm](x_p[/mm] = 2, [mm]y_p[/mm] = 3, [mm]z_p[/mm] = 4) von der
> Ebene?
> c) Liegen der Punkt und der Koordinatenursprung auf der
> gleichen Seite der Ebene?
> d) Wie lautet die Vektorschreibweise der Geraden, die
> senkrecht zu der gegebenen Ebene durch den Punkt P
> verläuft? (mit getrennter Angabe der Komponenten der
> nicht-variablen Vektoren)
> Wie soll man das denn bitte lösen können wenn man es
> noch nie zuvor hatte?! Das ganze sagt mir gar nichts.
Hallo,
"... noch nie hatte..." halte ich für übertrieben. Was hattest ihr zuletzt im Unterricht?
Gab es da bestimmt Abstandsformeln?
ODER
Ist vielleich der Name "Hesse" gefallen?
ODER
Könntest du von dieser Ebene wenigstens den Normalenvektor angeben?
Wenn wir wissen, was davon schon bekannt ist, kann dir sicher anknüpfend an deine Vorkenntnisse zielgerichteter geholfen werden.
Gruß Abakus
> Im Internet hab ich mal wieder nichts dazu gefunden.
>
> Hab absolut keine Ahnung was ich da machen soll.
> Bitte kann mich jemand aufklären der Zeit hat oder
> vielleicht kennt jemand ne tolle Seite die das GUT erklärt
> (was ich mittlerweile bezweifle...)
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Hallo,
> Wie soll man das denn bitte lösen können wenn man es
> noch nie zuvor hatte?!
Durch Selbststudium.
> Das ganze sagt mir gar nichts.
> Im Internet hab ich mal wieder nichts dazu gefunden.
Zunächst gilt die Frage von abakus: Was sind deine Vorkenntnisse? Das klingt bald so, als wären sogar Vektoren vollkommen neu für dich.
Als Seite, kann ich dir folgende empfehlen:
![[]](/images/popup.gif) http://www.poenitz-net.de/Mathematik/7.Analytische%20Geometrie/7.Analytische%20Geometrie.htm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Mi 21.11.2012 | | Autor: | Cloud123 |
Ja Vektoren hatte ich bisher auch noch nicht!
Ich will mir ja alles selbst beibringen aber dazu brauch ich ja auch irgentwie Material.
Ich hatte 2 Seiten gefunden allerdings total "hoch" geschrieben wo ich nichts verstanden habe.
Ich werde mir deine Seite gleich mal angucken danke.
> Gab es da bestimmt Abstandsformeln?
Sagt mir nichts.
> Ist vielleich der Name "Hesse" gefallen?
Auch nicht.
> Könntest du von dieser Ebene wenigstens den Normalenvektor angeben?
Nein keine Ahnung. *_*
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Hallo Cloud,
> Ja Vektoren hatte ich bisher auch noch nicht!
Dann kannst du obige Aufgaben erst einmal komplett vergessen. Auf Vektoren baut letztendlich doch alles auf. Das gesamte Konstrukt der Vektoranalysis.
> Ich will mir ja alles selbst beibringen aber dazu brauch
> ich ja auch irgentwie Material.
Und da suchst du dir gleich solche Aufgaben heraus?
> Ich hatte 2 Seiten gefunden allerdings total "hoch"
> geschrieben wo ich nichts verstanden habe.
>
> Ich werde mir deine Seite gleich mal angucken danke.
>
> > Gab es da bestimmt Abstandsformeln?
> Sagt mir nichts.
>
> > Ist vielleich der Name "Hesse" gefallen?
> Auch nicht.
>
> > Könntest du von dieser Ebene wenigstens den Normalenvektor
> angeben?
> Nein keine Ahnung. *_*
Wenn du dir das Thema der Vektoranalysis wirklich selbst beibringen willst - von grund auf, dann solltest du vllt. in ein Lehrbuch der gymnasialen Oberstufe reinschauen.
Der alte Lambacher Schweizer "Analytische Geometrie" ist richtig gut. Sicherlich irgendwo im Antiquariat zu erhalten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Cloud123 |
Ok ich habe mir jetzt Vektoren mal angeguckt und einige Aufgaben gerechnet.
Aber ich weiss trotzdem noch nicht wie ich Ebenengleichungen lösen soll.
Und Google bietet mir auch nichts hilfreiches an:
[mm] https://www.google.de/#hl=de&tbo=d&sclient=psy-ab&q=vektoren+ebenengleichung&oq=vektoren+ebenengleichung&gs_l=hp.3..0l2j0i30l2.513.5876.0.5980.28.13.2.13.14.0.186.1518.4j9.13.0...0.0...1c.1.0TwaLjbJouc&pbx=1&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.r_qf.&fp=ed2d7b760618e270&bpcl=38897761&biw=1280&bih=827
[/mm]
Ist das denn sehr kompliziert oder kann man solche Aufgaben wenn man es weiss schnell lösen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Fr 23.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ok ich habe mir jetzt Vektoren mal angeguckt und einige
> Aufgaben gerechnet.
Das ist gut.
> Aber ich weiss trotzdem noch nicht wie ich
> Ebenengleichungen lösen soll.
Um das vernünftig zu verstehen, musst du erstmal eine gewisse Sicherheit in der Vektorrechnug haben.
Eine gewisse Vorstellungskraft im dreidimensionalen Raum hilft sicherlich auch.
Der von Richie 1401 angegebene Link ist meiner Meinung nach hervorragend, wie die gesamte Seite www.poenitz-net.de im Bereich Mathematik.
Zum Lernen der Grundlagen schau auch mal unter folgenden Links bei Brinkmann-du.de
Link1
Link2
Link3
Link4
Link5
Link6
Link7
Etwas knapper, aber auch sehr zu emfehlen sind die Informationen bei F. Strobl.
http://www.strobl-f.de/m11.html
(Kapitel 11/9)
http://www.strobl-f.de/m12.html
(Kapitel 12/5 bis 12/10)
> Und Google bietet mir auch nichts hilfreiches an:
>
>
> Ist das denn sehr kompliziert oder kann man solche
> Aufgaben wenn man es weiss schnell lösen?
Wenn man den Weg kennt, geht es ja meistens 
Mit der Hesseschen Normalenform (HNF) oder der Hesseschen Koordinatenform der Ebene sind die Aufgabenteile a), b) durch einsetzen der Punkte ganz fix machbar. Aufgabe c) ist dann über das Vorzeichen des Wertes der beiden Punkte in dieser Ebenenform auch schön machbar.
Bei Aufgabe d) brauchst du auch nicht viel, nur ein wenig räumliches Vorstellungsvermögen.
Machen wir diese Aufgabe mal sehr detailliert.
Du hast die Ebene $ E:7x - 5y + 8z - 30 = 0 $ in Koordinatenform gegeben.
Ein möglicher Normalenvektor ist hier der Vektor [mm] $\vec{n}=\begin{pmatrix}7\\-5\\8\end{pmatrix} [/mm] $
Damit können wir schon Aufgabe d) lösen. Der Vektor [mm] \vec{n} [/mm] steht senkrecht auf der Ebene, wir können diesen also als Richtungsvektor der gesuchten Geraden g nehmen. Als Stützvektor kannst du den Ortsvektor zu P nehmen, denn P soll ja auf g liegen.
Also kannst du g als
[mm] $g:\vec{x}=\vec{p}+\lambda\cdot\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}7\\-5\\8\end{pmatrix}$
[/mm]
Nun weiter im Takt zu den Aufgabenteilen a) bis c)
Wir kennen ja schon einen Normalenvektor, also kannst du schon fast die Normalenform aufstellen, es gilt:
[mm] $E:\left[\vec{x}-\vec{a}\right]\cdot\vec{n}=0$
[/mm]
Wir suchen nun noch irgendeinen Stützpunkt A auf der Ebene, dazu können wir uns irgendeinen beliebigen Punkt hernehmen, der auf der Ebene E liegt, der also die Koordinatenbedingung 7x-8y+5z-30=0 erfüllt, nehmen wir beispielsweise A(0|0|6), aber jeder andere Punkt, dessen Koordinaten die Gleichung 7x-8y+5z-30=0 erfüllen, würde auch gehen
Damit haben wir die Normalenform nun vollständig, es gilt:
[mm] $E:\left[\vec{x}-\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}\right]\cdot\begin{pmatrix}7\\-5\\8\end{pmatrix}=0$
[/mm]
Für die hessesche Normalenform benötigen wir noch die Länge des Normalenvektors, hier gilt:
[mm] $\left|\begin{pmatrix}7\\-5\\8\end{pmatrix}\right|=\sqrt{7^{2}+(-5)^{2}+8^{2}}=\sqrt{138}$
[/mm]
Damit wird die Normalenform zur HesseschenNormalenForm (HNF)
[mm] $E:\frac{1}{\sqrt{138}}\cdot\left[\vec{x}-\lambda\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}\right]\cdot\lambda\cdot\begin{pmatrix}7\\-5\\8\end{pmatrix}=0$
[/mm]
Mit dieser HNF kannst du die Abstände von einem Punkt zur Ebene ermitteln, indem du diesen gesuchten Punkt in die Ebene einsetzt. Dabei kommt ein Wert heraus, dieser Wert gibt dir dann den Abstand d des Punktes zur Ebene an. Zum Punkt P also:
[mm] $d_{P-E}=\frac{1}{\sqrt{138}}\cdot\left[\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}\right]\cdot\begin{pmatrix}7\\-5\\8\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{\sqrt{138}}\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\-2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}7\\-5\\8\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{\sqrt{138}}\cdot(2\cdot7+3\cdot(-5)+(-2)\cdot(-8))$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{\sqrt{138}}\cdot22$
[/mm]
[mm] $=\frac{22}{\sqrt{138}}$
[/mm]
[mm] $\approx1,87LE$
[/mm]
In Aufgabe b) musst du nun den Ursprung in die HNF einsetzen, dann bekommst du den Abstand.
In Aufgabe c) musst du beide Punkte einsetzen, und schauen, ob die beiden Ergebnisse gleiche Vorzeichen haben, dann liegen sie auf einer Seite der Ebene.
(Ohne Gewähr auf Rechenfehler)
Marius
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