Ebenengleichung < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo
um zu Beweisen das [mm] U_{1}\not=U_{2} [/mm] muss man das Gleichungssystem lösen
[mm] \mu \vektor{1 \\ 2\\-2}+ \lambda\vektor{1 \\ 2\\-2}=s\vektor{0 \\ 3\\-4}+t\vektor{1 \\ -1\\2}
[/mm]
[mm] \mu [/mm] +2 [mm] \lambda= [/mm] t
2 [mm] \mu [/mm] + [mm] \lambda= [/mm] 3 s - t
-2 [mm] \mu [/mm] - 5 [mm] \lambda=-4 [/mm] s+2t
2 [mm] \mu [/mm] + [mm] \lambda= [/mm] 3 s - ( [mm] \mu [/mm] +2 [mm] \lambda)
[/mm]
-2 [mm] \mu [/mm] - 5 [mm] \lambda=-4 [/mm] s+2( [mm] \mu [/mm] +2 [mm] \lambda)
[/mm]
2 [mm] \mu [/mm] + [mm] \lambda= [/mm] 3 s - ( [mm] \mu [/mm] +2 [mm] \lambda)
[/mm]
-2 [mm] \mu [/mm] - 5 [mm] \lambda=-4 [/mm] s+ [mm] 2\mu [/mm] +4 [mm] \lambda)
[/mm]
2 [mm] \mu [/mm] - [mm] \lambda= [/mm] 3 s
-2 [mm] \mu [/mm] - 5 [mm] \lambda= [/mm] -4 s
wenn das Gleichungssystem keine schnittgerade hat müssten die Ebenen verschieden sein
Wenn ich das obere Gleichungsytem nicht lösen kann weil 3 Variablen und nur zwei Gleichungen vorhanden sind kann man darauf schließen das es keine Lösung und somit keine gemeinsamen Punkte vorhanden sind???
Danke
Stevo
|
|
| |
|
Hi, stevarino,
>
> [mm]\mu \vektor{1 \\ 2\\-2}+ \lambda\vektor{1 \\ 2\\-2}=s\vektor{0 \\ 3\\-4}+t\vektor{1 \\ -1\\2}[/mm]
Du hast Dich vermutlich vertippt, denn links steht 2 mal derselbe Vektor: Da ließe sich nix mit anfangen!
(Nebenbei: Wenn's um die Schnittgerade 2er Ebenen geht und bei beiden "fehlt" der Aufpunkt, dann haben die Ebenen schon mal den Nullpunkt gemeinsam)
>
> [mm]\mu[/mm] +2 [mm]\lambda=[/mm] t
> 2 [mm]\mu[/mm] + [mm]\lambda=[/mm] 3 s - t
> -2 [mm]\mu[/mm] - 5 [mm]\lambda=-4[/mm] s+2t
>
> 2 [mm]\mu[/mm] + [mm]\lambda=[/mm] 3 s - ( [mm]\mu[/mm] +2 [mm]\lambda)[/mm]
> -2 [mm]\mu[/mm] - 5 [mm]\lambda=-4[/mm] s+2( [mm]\mu[/mm] +2 [mm]\lambda)[/mm]
>
> 2 [mm]\mu[/mm] + [mm]\lambda=[/mm] 3 s - ( [mm]\mu[/mm] +2 [mm]\lambda)[/mm]
> -2 [mm]\mu[/mm] - 5 [mm]\lambda=-4[/mm] s+ [mm]2\mu[/mm] +4 [mm]\lambda)[/mm]
>
> 2 [mm]\mu[/mm] - [mm]\lambda=[/mm] 3 s
> -2 [mm]\mu[/mm] - 5 [mm]\lambda=[/mm] -4 s
Der Schritt scheint mir nicht zu stimmen. Ich kriege:
[mm] 3\mu [/mm] + [mm] 3\lambda [/mm] = 3s
[mm] -4\mu [/mm] - [mm] 9\lambda [/mm] = -4s
>
> wenn das Gleichungssystem keine schnittgerade hat müssten
> die Ebenen verschieden sein
> Wenn ich das obere Gleichungsytem nicht lösen kann weil 3
> Variablen und nur zwei Gleichungen vorhanden sind kann man
> darauf schließen das es keine Lösung und somit keine
> gemeinsamen Punkte vorhanden sind???
Nein!
Bei Deinem Beispiel ist das wegen meiner obigen Bemerkung (O liegt in beiden Ebenen drin!) sogar unmöglich!
Zudem MUSS ja ein Parameter übrigbleiben: Eben derjenige der Schnittgeraden!
Machen wir als weiter in der Rechnung:
[mm] \mu [/mm] + [mm] \lambda [/mm] = s
[mm] 4\mu [/mm] + [mm] 9\lambda [/mm] = 4s
s = [mm] \mu [/mm] + [mm] \lambda [/mm] wird nun in die 2. Gleichung eingesetzt:
[mm] 4\mu [/mm] + [mm] 9\lambda [/mm] = [mm] 4*(\mu [/mm] + [mm] \lambda)
[/mm]
[mm] 4\mu [/mm] + [mm] 9\lambda [/mm] = [mm] 4\mu [/mm] + [mm] 4\lambda)
[/mm]
[mm] 5\lambda [/mm] = 0
[mm] \lambda [/mm] = 0.
Und damit ist die Schnittgerade: s: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \mu*\vektor{1 \\ 2 \\ -2}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
|
|
|
|
