Ebenengleichung aufestellen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hi, ich habe eine Frage und zwar weiss ich nicht, wie ich eine Gleichung in der Ebene bestimme mittels 2 (oder 3) Punkten (die punkte sollen dann also in Parameterform stehen).
Ich habe z.B. folgende Punkte:
A (1/0/8)
B (2/1/7)
C(6/7/1)
und soll nun eine Gleichung der Ebene E in Parameterform aufstellen.
Die Frage ist nur, wie mache ich so etwas?!
Es wärs schön, wenn mir jemand dabei helfen könnte 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 So 31.10.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo sue!
> Hi, ich habe eine Frage und zwar weiss ich nicht, wie ich
> eine Gleichung in der Ebene bestimme mittels 2 (oder 3)
> Punkten (die punkte sollen dann also in Parameterform
> stehen).
>
> Ich habe z.B. folgende Punkte:
> A (1/0/8)
> B (2/1/7)
> C(6/7/1)
>
> und soll nun eine Gleichung der Ebene E in Parameterform
> aufstellen.
>
> Die Frage ist nur, wie mache ich so etwas?!
Grundsätzlich benötigst du 3 Punkte (die nicht auf einer Geraden liegen). Wähle dir einfach einen beliebigen Punkt von den dreien aus, also z.B. A (1/0/8). Das ist jetzt unser Stützvektor.
Nun benötigt man für die Parameterform noch 2 Richtungsvektoren.
Die bekommst du, wenn du die Vektoren [mm] $\overrightarrow{AB}$ [/mm] und [mm] $\overrightarrow{AC}$ [/mm] bildest.
Also hier: [mm] $\overrightarrow{AB}= [/mm] (1/1/-1)$ und [mm] $\overrightarrow{AC}= [/mm] (5/7/-7)$.
Dann hast du die Ebenengleichung als:
[mm] E= \vec{x} + s * \overrightarrow{AB} + t* \overrightarrow{AC}[/mm].
Soviel erstmal dazu. Hast du noch Fragen? Dann nur zu.
Gruß Micha 
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Hi Micha,
danke für deine Hilfe!
Habe eine Frage, und zwar hier zu:
>
> Dann hast du die Ebenengleichung als:
>
> [mm]E= \vec{x} + s * \overrightarrow{AB} + t* \overrightarrow{AC}[/mm].
Könntest du das vielleicht nochmal an dem genannten Beispiel konkretisieren? Steige da nicht so wirklich durch.
Liebe Grüße, Sue.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:17 Mo 01.11.2004 | | Autor: | Andi |
Hallo Sue,
> > Dann hast du die Ebenengleichung als:
> >
> > [mm]E= \vec{x} + s * \overrightarrow{AB} + t* \overrightarrow{AC}[/mm].
Ich muss ganz ehrlich sagen, dass ich die Notation von Micha hier auch nicht ganz verstehe. Na ja, andere Länder andere Sitten .
Prinzipiell würde ich aber genauso vorgehen wie es Micha schon beschrieben hat:
Einen Punkt als Aufpunkt auswählen (wobei es wie gesagt egal ist welchen du nimmst, du brauchst ihn nur um deine Ebene im Koordinaten system zu verankern):
Ich wähle den Punkt A als Aufpunkt aus, [mm] \vec{A}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} [/mm]
Nun müssen wir die Verbindungsvekoren von Punkt A zum Punkt B [mm] \vec{AB} [/mm],
[mm] \vec{AB}=\vec{B} -\vec{A}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} [/mm],
Und vom Punkt A zum Punkt C bilden [mm] \vec{AC} [/mm]:
[mm] \vec{AC}=\vec{C} -\vec{A}=\begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} [/mm],
Diese zwei Vektoren spannen meine Ebene auf, wenn ich sie kombiniere kann ich zu jedem Punkt der Ebene kommen (d.h. ich gehe z.B. 3 mal in Richtung von [mm] \vec{AB}[/mm] und zweimal in Richtung von [mm] \vec{AC} [/mm]).
Nun kann ich meine Ebenengleichung aufstellen:
In dem ich zuerst zum Aufpunkt gehe und mich dann mit meinen Richtungsvektoren auf der Ebene bewege.
[mm] E:\vec{X} = \vec{A} +s*\vec{AB} + t*\vec{AC} [/mm]
wobei [mm] \vec{X} [/mm] für den Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf der Ebene steht und s,t Element der reellen Zahlen sind.
Also um es nochmal deutlich zu sagen, links von der Gleichung steht mein Punkt und auf der rechten Seite wie man zu dem Punkt kommt.
Nämlich indem man zuerst den Aufpunkt hat, dann zu diesem ein s-faches vom ersten Richtungsvektor und ein t-faches vom zweiten Richtungsvektor addiert.
Hmm .... eigentlich hab ich es jetzt noch einmal genauso erklärt wie Micha, vielleicht hat es ja trotzdem ein wenig geholfen, wenn nicht melde dich einfach noch mal.
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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Hi Andi, danke für deine Erklärung,
> > > [mm]E= \vec{x} + s * \overrightarrow{AB} + t* \overrightarrow{AC}[/mm].
Würde das dann am Beispiel konkretisiert also so aussehen:
E= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \mu \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ -7 \end{pmatrix}
[/mm]
liebe Grüße, Sue
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Hi Bastiane,
ich glaub, ich hab es verstanden (hoff ich). Ich denke mir, dass es wohl so ist, dass man den Vektor, den man als Ortsvektor ausgesucht hat (In dem fall war es ja Punkt A) mit allen anderen vorhandenen Punkten (B, C) "in Verbindung" bringen muss, sozusagen...
Das macht man dann so, dass man die beiden anderen Punkte von Punkt A abzieht, also B-A und C-A. Das Ergebnis welche sman daraus erhält ist dann jeweils einer der beiden Stützvektoren. ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
Liebe Grüße, Sue.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]"){kind=small}
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[klatsch]](/images/smileys/klatsch.gif "[klatsch]"){kind=small}
