Ebenengleichung aus 2 Punkten < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:33 Mi 19.01.2005 | | Autor: | duplo |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Super Seite hier!
Hab auch ein gaaanz dringendes Problem, schreib übermorgen Klausur und grad voll am verzweifeln:
Die Aufgabe: 3 Punkte sind gegeben A(2/2/2) B(4/1/3) C(8/4/5)
Erstellen sie eine Ebenengleichung als Koordinatengleichung
Ich hab mir dann gedacht, ich setzt die Punkte in die allgemeine Gleichung ein, also:
(1) 2x+2y+3z=d
(2) 4x+y+3z=d
(3) 8x+4y+5z=d
jetzt hab ich nur das Problem das ich nur drei Gleichungen für VIER Variablen hab. Wie mach ich das?
Ich weiss es ist ziemlich grundlegend, aber ich kriegs einfach nich raus!
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Hi!
Also zu Deiner Aufgabe:
Aus den 3 Punkten mach ich zuerst 'ne Ebene in Parameterform:
E: [mm] \vec{x}=\vektor{2\\2\\2}+r\*\vektor{2\\-1\\1}+s\*\vektor{6\\2\\3}.
[/mm]
(Die beiden Richtungsvektoren der Ebene erh. man durch: [mm] \vec{b}-\vec{a} [/mm] bzw. [mm] \vec{c}-\vec{a}).
[/mm]
Nun suche ich einen Vektor, der zu den beiden Richtungsvektoren senkrecht steht.
Dies geht auf 2 versch. Arten:
a) mit dem Kreuzprodukt: [mm] \vektor{2\\-1\\1}\times\vektor{6\\2\\3}=\vektor{-1\*3-1\*2\\1\*6-2\*3\\2\*2-(-1)\*6}=\vektor{-5\\0\\10}\hat=\vektor{-1\\0\\2}=\vec{n}.
[/mm]
b) mit GS:
[mm] \vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}}\circ\vektor{2\\-1\\1}=0 [/mm] und [mm] \vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}}\circ\vektor{6\\2\\3}=0
[/mm]
(da der neue Vektor ja senkrecht auf beiden Richtungsvektoren stehen soll, muss das Skalarprodukt=0 sein).
daraus ergibt sich: [mm] 2n_{1}-n_{2}+n_{3}=0 [/mm] und [mm] 6n_{1}+2n_{2}+3n_{3}=0
[/mm]
Diese Gleichungen werden durch den Vektor: [mm] \vec{n}=\vektor{-1\\0\\2} [/mm] erfüllt.
Nun habe ich also schon den Normalenvektor der Ebene (also auch die Normalenform).
Die Koordinatenform bekomm ich nun sehr schnell:
Die einzelnen Zahlen vom Normalenvektor sind die Vorfaktoren von x, y und z in der Koordinatengleichung.
Das d der Koordinatengleichung erh. man folgendermaßen: [mm] \vec{n}\circ\vec{a}=(-1)\*2+0\*2+2\*2=2.
[/mm]
Daraus folgt: E: -x+2z=2 (Koordinatenform).
Hoffe, Du kanns jetzt alles verstehen!
VlG
Mario
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Mi 19.01.2005 | | Autor: | duplo |
Hallo danke für deine schnelle Antwort.
Habe vorher leider vergessen, was zu sagen: Wir dürfen kein Kreuzprodukt verwenden, da sonst Punkteabzug
Die Lösung mit dem GS versteh ich nicht.
Das mit dem Skalarprodukt iss mir klar, aber wie kommst du dann auf [mm] \vec{n} [/mm] ???
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Hallo duplo!
Also erstmal noch: ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Habe vorher leider vergessen, was zu sagen: Wir dürfen kein
> Kreuzprodukt verwenden, da sonst Punkteabzug
Also, das ist ja ein komischer Lehrer!!! Mit dem Kreuzprodukt geht es doch sooo einfach! Und wenn man das einmal kann, warum sollte man dann Punktabzug geben?
> Die Lösung mit dem GS versteh ich nicht.
> Das mit dem Skalarprodukt iss mir klar, aber wie kommst du
> dann auf [mm]\vec{n}[/mm] ???
Also, ganz einfach ausrechnen! Du hast doch (wäre übrigens nicht schlecht gewesen, du hättest die Antwort zitiert und deine Frage direkt darunter gesetzt, jetzt musste ich extra ein zweites Fenster öffnen, um die Zahlenwerte zu erhalten und jetzt muss ichdas auch nochmal abtippen... Ach nein, das mach ich doch nicht, das kannst du dir ja selber nochmal angucken...) - also jedenfalls hast du die zwei Gleichungen mit dem Skalarprodukt, wo rechts neben dem Gleichheitszeichen eine 0 steht, das hast du ja verstanden, warum.
Nun kannst du das ganz allgemein hinschreiben:
für die erste Gleichung:
[mm] 2n_2-n_2+n_3=0
[/mm]
und für die zweite Gleichung:
[mm] 6n_1+2n_2+3n_3
[/mm]
Siehst du das? Das ist ganz einfach das Skalarprodukt, nur hast du halt [mm] n_1, n_2 [/mm] und [mm] n_3 [/mm] statt Zahlen.
Nun kannst du eine dieser Gleichungen nach einer beliebigen Variablen auflösen, das dann in die zweite Gleichung einsetzen und du bekommst eine Abhängigkeit von einer Variablen, also z. B. (das ist jetzt ein Beispiel, was nichts mit deiner Aufgabe zu tun hat, also die Werte haben nichts damit zu tun!!!) [mm] n_1=n_3, n_2=5n_3. [/mm] Das hieße nun, du darfst dein [mm] n_3 [/mm] frei wählen, vielleicht nimmst du gerne [mm] n_3=1, [/mm] dann erhältst du in diesem Beispiel: [mm] n_1=1, n_2=5. [/mm] Damit hättest du dann deinen Normalenvektor.
Ach ja, der Normalenvektor darf natürlich nicht der Nullvektor sein!
Kommst du jetzt alleine klar? Ich gehe nämlich jetzt ins Bett - ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]") !
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:38 Mi 19.01.2005 | | Autor: | duplo |
supi danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:36 Sa 22.01.2005 | | Autor: | dominik |
Ein bisschen spät bin ich, aber vielleicht kannst Du diesen Tipp ein anderes Mal brauchen:
1. Richtig ansetzen!
> Die Aufgabe: 3 Punkte sind gegeben A(2/2/2) B(4/1/3) C(8/4/5)
> Erstellen sie eine Ebenengleichung als
> Koordinatengleichung
>
> Ich hab mir dann gedacht, ich setzt die Punkte in die
> allgemeine Gleichung ein, also:
>
> (1) 2x+2y+3z=d
> (2) 4x+y+3z=d
> (3) 8x+4y+5z=d
>
Die Ebenengleichung lautet [mm]ax+by+cz=d[/mm]
Dann hast Du korrekt die Koordinaten der Punkte eingesetzt, allerdings mit einem kleinen Flüchtigkeitsfehler - 3 für z statt 2 -, aber:
Du musst in der Gleichung Werte einsetzen für x, y und z:
[mm](1) \quad 2a+2b+2c=d[/mm]
[mm](2) \quad 4a+b+3c=d[/mm]
[mm](3) \quad 8a+4b+5c=d[/mm]
2. Jetzt kommt das Hauptproblem:
> jetzt hab ich nur das Problem das ich nur drei Gleichungen
> für VIER Variablen hab. Wie mach ich das?
Es ist ganz einfach: für eine der Konstanten a, b, c oder d darfst Du irgend eine Zahl wählen! So einfach ist das. Dass es nicht darauf ankommt, welche Zahl gewählt wird, will ich Dir an Hand zweier Beispiele zeigen. Wir werden verschiedene Zahlen wählen und am Schluss die selbe Gleichung erhalten.
Erster Fall
Ich wähle zu Beginn für diejenige Konstante irgend eine Zahl, die etwas unbequem ist. In unserem Fall ist das c. Sagen wir c=1! Damit sieht unser System folgendermassen aus:
[mm](1) \quad 2a+2b+2=d[/mm]
[mm](2) \quad 4a+b+3=d[/mm]
[mm](3) \quad 8a+4b+5=d[/mm]
d eliminieren:
[mm](1)-(2) \quad -2a+b-c=0 \quad (4)[/mm]
[mm](2)-(3) \quad -4a-3b-2c=0 \quad (5)[/mm]
b eliminieren:
[mm]3*(4)+(5) \quad -10a-5=0
\Rightarrow a=- \bruch{5}{10}=- \bruch{1}{2}
\Rightarrow (4) \quad b=2a+1=-1+1=0
\Rightarrow (1) \quad d=2a+2b+2=-1+0+2=1[/mm]
Damit erhalten wir für die Ebene die folgende Gleichung:
[mm]- \bruch{1}{2}x+z=1[/mm]
Wir erweitern sie mit -2 und erhalten: [mm] x-2z+2=0 [/mm]
Zweiter Fall
Eine Zahl später einsetzen. d eliminieren:
[mm](1)-(2) \quad -2a+b-c=0 \quad (4)[/mm]
[mm](2)-(3) \quad -4a-3b-2c=0 \quad (5)[/mm]
c eliminieren:
[mm]2*(4)-(5) \quad 5b=0 \Rightarrow b=0[/mm]
[mm]\Rightarrow (4) \quad -2a-c=0 \gdw -2a=c \Rightarrow[/mm]
zB [mm]a=1 \Rightarrow c=-2 \Rightarrow d=2a+2b+2c=-2[/mm]
Ebene: [mm]x-2z=-2 \gdw x-2z+2=0 [/mm]
Es ist tatsächlich die selbe Ebene wie oben!
Viele Grüsse
dominik
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