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| Aufgabe | | Gleichung einer Ebene ermitteln, durch die der Punkt P (1 / -3 / -1) verläuft und die parallel zur Ebene E (E: x1 - 3x2 - x3 = 5) ist. |
Hallo,
nachdem ich hier schon eine ganze Weile über einer Aufgabe sitze, die eigentlich überhaupt nicht schwer sein kann, wollte ich es mal auf diesem Wege probieren. Wie gesagt, es soll eine neue Ebenengleichung aufgestellt werden.
Ich dachte mir das so, dass ich zum einen den Normalenvektor der bereits gegebenen Ebene nutze, also n = [mm] \vektor{1 \\ -3 \\ -1} [/mm] und irgendwie den Punkt miteinbringe, dann ein LGS aufstelle und so die neue Ebenengleichung bestimmte.
Dann habe ich den Punkt als den Ortsvektor einer Geraden betrachtet, was allerdings auch nicht geht, da ich ja einen Richtungsvektor benötige um mit dem LGS zu rechnen.
Was haltet ihr von diesem Weg, weil ich so nicht weiterkomme wie ich mir das gedacht habe.
Viele Grüße, Frederik. (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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Hallo Fredrik,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Deine Idee mit dem Normalenvektor ist doch schon sehr gut!
Nun verwende die Normalenform einer Ebene: [mm] $\vec{n}*\left[ \ \vec{x}-\vec{p} \ \right] [/mm] \ = \ 0$ .
Dabei musst Du für [mm] $\vec{p}$ [/mm] den genannten Punkt verwenden ... fertig!
Gruß vom
Roadrunner
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| Aufgabe | | Erstellen einer Ebenengleichung G, in der der Punkt P ( 1 / -3 / -3) und die Gerade g:ox= [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -3} [/mm] + r [mm] \vektor{-1 \\ 3 \\ 1} [/mm] |
Vielen Dank für die unkomplizierte Hilfe. Das war natürlich genau das richtige.
Jetzt fällt mir noch eine weitere Sache ein. Es geht darum eine weitere Ebenengleichung zu erstellen, in der der Punkt P, als auch die Gerade g liegt. Ich habs jetzt hier nochmal mit der Normalenform probiert klappt aber nicht ganz, da ich ja keinen Normalenvektor habe. Muss ich da diesmal über den Weg des LGS gehen?
Richtungsvektor der Gerade ist dann in diesem Fall: n = [mm] \vektor{-1 \\ 3 \\ 1}
[/mm]
Aber wo bekomme ich den anderen Richtungsvektor her?
Vielen Dank.
Frederik
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Hallo Frederik!
Bestimme Dir zunächst den Vektor von dem Aufpunkt der Geraden zum Punkt $P_$: Vektor [mm] $\overrightarrow{AP}$ [/mm] .
Der gesuchte Normalenvektor der Ebene muss dann sowohl senkrecht stehen auf diesen Vektor [mm] $\overrightarrow{AP}$ [/mm] als auch auf den Richtungsvektor der Geraden (Stichwort:  Skalarprodukt).
Gruß vom
Roadrunner
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Nun gut...ich habe den Normalenvektor ausgerechnet, bestehend aus [mm] \overrightarrow{AP} [/mm] * [mm] \vec{u}, [/mm] da kommt bei mir n = [mm] \vektor{-1 \\ 12 \\ 0} [/mm] raus. Wenn ich diesen Vektor jetzt in die Normalenform einsetze und den Richtungsvektor der Geraden also [mm] \vec{u} \vektor{-1 \\ 3 \\ 1} [/mm] als [mm] \overrightarrow{0A} [/mm] verwende, bekomme ich zwar eine Ebenengleichung raus, allerdings geht diese nicht auf sobald ich probeweise den Punkt P einsetze. Ich bekomme dann -37 = 37.
Mach ich das so richtig?
Gruß, Frederik
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 Do 06.04.2006 | | Autor: | CPH |
Hallo
ich gehe erst mal davon aus, dass es sich immernoch um den Punkt P (1/3/-3) und die Gerade g: [mm] \vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ -3}+r\vektor{-1 \\ 3 \\ 1} [/mm] handelt!
zuerst bestimmen wir einmal eine ganz einfache parametergleichung der ebene:
eine Ebene ist durch drei Punkte definiert, also sicherlich auch durch eine gerade und einen Punkt!
und zwar brauche ich für eine Ebene einen Stützvektor zur Ebene, dazu nehmen wir in diesem Fall den Ortsvektor der Geraden [mm] (\vektor{2 \\ 1 \\ -3})
[/mm]
und zwei linear unabhängige Richtungsvektoren (der eine Richtungsvektor darf nicht ein Vielfaches des anderen sein!)
Der erste richtungsvektor ist der Richtungsvektor der Geraden [mm] (r\vektor{-1 \\ 3 \\ 1}),
[/mm]
Den anderen müssen wir errechnen, indem wir den Punkt P(1/3/-3) von unserem Ortsvektor der Geraden [mm] (\vektor{2 \\ 1 \\ -3}).
[/mm]
Man kann auch den Ortsvektor von P abziehen, dass ist egal, weil dann der Richtungsvektor, den wir erhalten nur in die entgegengesetzte Richtung weist und dass ist bei der Betrachtung einer Ebene egal!
Also der zweite Richtungsvektor lautet:
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -3}-\vektor{1 \\ 3 \\ -3}=\vektor{1 \\ -2 \\ 0}
[/mm]
Die Parameterform unserer Ebene lautet also:
[mm] \vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ -3}+r\vektor{-1 \\ 3 \\ 1}+t\vektor{1 \\ -2 \\ 0}
[/mm]
wobei t, wie r auch nur eine konstante ist!
Der normale Vektor ist dann das Vektorprodukt oder auch Kreuzprodukt der Richtungsvektoren, er steht orthogonal auf der Ebene:
[mm] \vektor{-1 \\ 3 \\ 1} \times \vektor{1 \\ -2 \\ 0}= \vektor{(3*0-1*(-2)) \\ -((-1)*1-0*(-1)) \\ ((-1)*3-(-1)*2)}=\vektor{2 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
Die Normalenform besteht aus einem beliebigen Punkt P (nicht zu verwechseln mit unserem oben angegebenen P) der aber in der Ebene liegen muss und dem Normalen Vektor ( [mm] \vec{n}):
[/mm]
[ [mm] \vec{x}- \vec{p}]* \vec{n}=0
[/mm]
[mm] (\vec{x} [/mm] ist wie bei der Parameterform auch irgend ein beliebiger Vektor in der Ebene
[mm] \vec{p} [/mm] ist der Stützvektor zur Ebene
[mm] \vec{n} [/mm] ist normaler Vektor der Ebene.)
in unserem Fall also:
[ [mm] \vec{x}- \vektor{2 \\ 1 \\ -3}]* \vektor{2 \\ 1 \\ -1}=0
[/mm]
Damit du einen abschließenden Überblick über die Darstellungen einer Ebene bekommst
zeige ich dir nun noch die Koordinatenform:
Mann muss das in der Normalenform (s.o.) angegebene skalarprodukt nur noch ausrechnen:
[ [mm] \vec{x}- \vektor{2 \\ 1 \\ -3}]* \vektor{2 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
[mm] =\vec{x}* \vektor{2 \\ 1 \\ -1}-\vektor{2 \\ 1 \\ -3}* \vektor{2 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
[mm] =\vektor{x \\ y \\ z }* \vektor{2 \\ 1 \\ -1}-\vektor{2 \\ 1 \\ -3}* \vektor{2 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
=2x+y-z-(2*2+1*1+(-1)*(-3))=0
=2x+y-z-(8)=0
Probe:
setze ich jetzt den Punkt P(1/3/-3) ein so erhalte ich:
2*1+3-(-3)-8=0
0=0
so erhalte ich eine Wahre Aussage.
ich hoffe ich konnte helfen
MFG
CPH
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