Ebenenschnittp.:Gaußscher Alg. < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Mo 22.03.2010 | | Autor: | coucou |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Schnittgerade der folgenden Ebenen.
[mm] \vektor{3 \\1 \\4}+ [/mm] k * [mm] \vektor{4 \\ 3\\2}+ [/mm] l * [mm] \vektor{ 2\\ 6\\3}
[/mm]
[mm] \vektor{ 3\\0 \\1}+ [/mm] m* [mm] \vektor{6 \\0 \\1}+ [/mm] n* [mm] \vektor{ 2\\-4 \\-1}
[/mm]
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Hallo!
Also, ich hab das ganze jetzt als Gleichungen aufgeschrieben
3+4k + 2l = 3+ 6m + 2u
1+ 3k + 6l = -44
4+ 2k + 3l = 1+m-n
dann das ganze auf die Form des Gaußschen Algorithmus gebracht
4k + 2l -6m -2n=0
-18l -3m -22n = 4
15m+ 4n = -23
Das stimmt auch, haben wir in der Shcule verglichen.
So jetzt beginnt allerdings mein Problem.
Ich habe versucht m durch n auszudrücken und kam dabei auf
15m= -4n -23
m= -4/15n - 23/ 15
dann habe ich das Ganze in die dritte Gleichung eingesetzt
-4/15n - 23/15 + 4n= -23
n= -23/ 4
und in die zweite
-18l-3 * (-4/15- 23/ 15) = -22 * (-23/4) = 4
-18l + 4/5n + 1311/10 = 4
l= 2/45n- 1271/ 180
Das kommt mir jedoch alles etwas komisch vor. Können die Werte stimmen?
Und wie genau komme ich dann auch die SchnittGERADE?
Danke,
LG, coucou
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Hallo,
> Bestimmen Sie die Schnittgerade der folgenden Ebenen.
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> [mm]\vektor{3 \\1 \\4}+[/mm] k * [mm]\vektor{4 \\ 3\\2}+[/mm] l * [mm]\vektor{ 2\\ 6\\3}[/mm]
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> [mm]\vektor{ 3\\0 \\1}+[/mm] m* [mm]\vektor{6 \\0 \\1}+[/mm] n* [mm]\vektor{ 2\\-4 \\-1}[/mm]
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> Hallo!
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> Also, ich hab das ganze jetzt als Gleichungen
> aufgeschrieben
>
> 3+4k + 2l = 3+ 6m + 2n
> 1+ 3k + 6l = -4n
> 4+ 2k + 3l = 1+m-n
>
> dann das ganze auf die Form des Gaußschen Algorithmus
> gebracht
>
> 4k + 2l -6m -2n=0
> -18l -3m -22n = 4
> 15m+ 4n = -23
Auf die Umformung komm ich zwar nicht, aber wenn:
> Das stimmt auch, haben wir in der Shcule verglichen.
> So jetzt beginnt allerdings mein Problem.
dann muss das wohl so sein....
> Ich habe versucht m durch n auszudrücken und kam dabei
> auf
>
> 15m= -4n -23
> m= -4/15n - 23/ 15
>
> dann habe ich das Ganze in die dritte Gleichung eingesetzt
> -4/15n - 23/15 + 4n= -23
> n= -23/ 4
??? Du hast doch die dritte Gleichung benutzt um einen Ausdruck für m zu finden! Wenn du jetzt m wieder in die 3.Gleichung einsetzt kriegst du:
[mm] 15*(-\bruch{4}{15}n [/mm] - [mm] \bruch{23}{15}) [/mm] + 4n = -23 [mm] \Rightarrow [/mm] 0 = 0
das bringt dich nicht weiter.
> und in die zweite
> -18l-3 * (-4/15- 23/ 15) = -22 * (-23/4) = 4
> -18l + 4/5n + 1311/10 = 4
> l= 2/45n- 1271/ 180
Setz das m, das du aus der 3.Gleichung ermittelst in die 2.Gleichung ein! Du erhältst einen Ausdruck l = ...*n + ...
l und m setzt du in die 1.Gleichung ein und du erhältst k = ...n + ...
Dann hast du deinen Richtungsvektor der Schnittgeraden mit [mm] n*\vektor{...\\...\\-\bruch{4}{15}} [/mm] der Orstvektor deines Punktes in der Geradengleichung ist [mm] \vektor{...\\...\\-\bruch{23}{15}}
[/mm]
Gruss Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Mo 22.03.2010 | | Autor: | coucou |
Hallo!
Ja, stimmt, das war ein dummer Fehler.
Ich habe es jetzt noch mal neu versucht, allerdings sie die Werte immer noch sehr komisch.
3. 15m= -4n-23
m= -4/15n - 23/ 15
2. -18l - 3 * ( -4/15n - 23/ 15) - 22n = 4
-18l - 114/5n = -3/5
l= -19/15- 1/30
1. 4k + 2*(-19/15n - 1/30) - 6 * (-4/15n -23/15) = 0
4k - 44/ 15n + 137/15 = 0
k = 11/15n - 137/60
Kann das sein? Kommt mir sehr komisch vor:(
Danke!
LG,
coucou
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> Hallo!
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> Ja, stimmt, das war ein dummer Fehler.
> Ich habe es jetzt noch mal neu versucht, allerdings sie
> die Werte immer noch sehr komisch.
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> 3. 15m= -4n-23
> m= -4/15n - 23/ 15
>
> 2. -18l - 3 * ( -4/15n - 23/ 15) - 22n = 4
> -18l - 114/5n = -3/5
> l= -19/15- 1/30
>
> 1. 4k + 2*(-19/15n - 1/30) - 6 * (-4/15n -23/15) = 0
> 4k - 44/ 15n + 137/15 = 0
> k = 11/15n - 137/60
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> Kann das sein? Kommt mir sehr komisch vor:(
Nun ja, testen kannst du das, indem du die gefundenen Ausdrücke in die beiden Ausgangsebenen einsetzt (getrennt voneinander, also k und l in die 1.Ebene und m in die 2.Ebene) und dann guckst, ob dasselbe rauskommt...
Mit deinen Werten stimmt das leider nicht. Ich hab das mal durchexerziert, (leider 3-mal, da man sich bei solchen Aufgaben sehr schnell mit einem simplen Vorzeichenfehler vertun kann ) ich habe l als Parameter gewählt und kriege als Lösung: k = -2*l -8 ; n = [mm] \bruch{23}{4} [/mm] ; m = -1*l - [mm] \bruch{29}{4}
[/mm]
und als Schnittgerade: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-29\\-23\\-12} [/mm] + [mm] l*\vektor{-6\\0\\-1} [/mm] wie gesagt, nach 3-mal rechnen, dann endlich bei beiden Ebenen das gleiche
Gruss Christian
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