Eigenfunktion, Green u.a. < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:03 Fr 13.04.2012 | | Autor: | LoKiaK |
Hallo,
ich verstehe einerseits nicht die Zusammenhänge von Eigenwerten/-funktionen und Green'schen Funktionen, andererseits verstehe ich nicht den Unterschied zwischen linearer Unabhängigkeit von Funktionen bzw deren Orthogonalität. Es ist doch so, dass zwei orthogonale Vektoren gleichzeitig auch linear unabhängig sind, warum also die Unterscheidung? Akut wird das Problem auf Seite 34 von Bnd 1 im Courant (frei verfügbar unter - GDZ Göttinger Digitalisierungszentrum: ![[]](/images/popup.gif) http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/toc/?PPN=PPN38067226X). Dort versucht er die Orthogonalisierung von Funktionen zu beschreiben. Mir ist unklar, weshalb ich aus einem Satz linear unabhängiger Funktionen einen zweiten Satz orthogonaler Funktionen errechnen soll, wo doch beides in meinen Augen gleichwertig ist. Dies ist aber offensichtlich nicht der Fall. Darüber hinaus frage ich mich, was lineare Unabhängigkeit bzw Orthogonalität für Eigenfuntionen und Greensche Funktionen bedeutet. Sind bei einer Entwicklung nach Eigenfunktionen bzw Greensche Funkionen diese linear unabhängig voneinander? Momentan gibt es einen Wust von Begrifflichkeiten, es wäre schön wenn sich jemand finden würde der mir hilft das Knäul zu entwirren. Kann mir jemand helfen?
Danke!
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Hallo,
hab leider nur kurz zeit, deshalb spreche ich nur einen punkt an.
> andererseits verstehe ich nicht den Unterschied zwischen
> linearer Unabhängigkeit von Funktionen bzw deren
> Orthogonalität.
denk mal an vektoren:
zwei vektoren die orthogonal zueinander sind, sind immer linear unabhängig.
sind jedoch zwei vektoren linear unabhängig, so sind sie nicht automatisch orthogonal.
kannst dir ja ne skizze machen im [mm] \IR^3 [/mm] und beide varianten "probieren".
LG Scherzkrapferl
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Mo 16.04.2012 | | Autor: | LoKiaK |
"..zwei vektoren die orthogonal zueinander sind, sind immer linear unabhängig.
sind jedoch zwei vektoren linear unabhängig, so sind sie nicht automatisch orthogonal"
hmmm...ich glaub, mein Denkfehler war, eine Projektion größer Null (das Skalarprodukt zweier Vektoren die nicht senkrecht aufeinander stehen) mit einer linearen Abhängigkeit gleichzusetzen. Sind nun Vektoren mit einer linearen Abhängigkeit automatisch parallel?
Das einzige, dass ich bislang zum Thema Eigenfunktionen-lineare Unabhängigkeit-Greensche Funktionen gefunden habe, findet sich auf folgenden Wiki-Seiten:
http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem
->Abschnitt: Eigenraum zum Eigenwert
bzw.
http://en.wikipedia.org/wiki/Green%27s_function] ->Abschnitt Eigenvalue expansions
Habt Ihr vllt noch mehr nützliche Infos?
Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:07 Di 17.04.2012 | | Autor: | meili |
Hallo,
> "..zwei vektoren die orthogonal zueinander sind, sind immer
> linear unabhängig.
> sind jedoch zwei vektoren linear unabhängig, so sind sie
> nicht automatisch orthogonal"
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> hmmm...ich glaub, mein Denkfehler war, eine Projektion
> größer Null (das Skalarprodukt zweier Vektoren die nicht
> senkrecht aufeinander stehen) mit einer linearen
> Abhängigkeit gleichzusetzen. Sind nun Vektoren mit einer
> linearen Abhängigkeit automatisch parallel?
"parallel" finde ich hier problematisch.
(Vielleicht noch in Anführungszeichen, wenn gilt [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \alpha \vec{b})
[/mm]
Es können auch mehrere Vektoren linearabhängig sein. [mm] (\vec{a} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \alpha_i \vec{b_i})
[/mm]
>
> Das einzige, dass ich bislang zum Thema
> Eigenfunktionen-lineare Unabhängigkeit-Greensche
> Funktionen gefunden habe, findet sich auf folgenden
> Wiki-Seiten:
> http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem
> ->Abschnitt: Eigenraum zum Eigenwert
Die engliche Version ist da ausführlicher,
besonders unter History und Generalizations.
> bzw.
> http://en.wikipedia.org/wiki/Green%27s_function
> ->Abschnitt Eigenvalue expansions
>
> Habt Ihr vllt noch mehr nützliche Infos?
Hast Du Dich schon mit Funktionalanalysis beschäftigt?
Unter anderem geht es dabei um unendlichdimensionale Vektorräume,
deren Vektoren Funktionen sind;
somit auch um lineare (Un)abhänigkeit, Orthogonalität und Orthonormalität
von Funktionen, Eigenwerte und Eigenfunktionen von Operatoren.
>
> Gruss
Gruß
meili
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(Frage) überfällig | | Datum: | 13:44 Do 19.04.2012 | | Autor: | LoKiaK |
" "parallel" finde ich hier problematisch.
(Vielleicht noch in Anführungszeichen, wenn gilt $ [mm] \vec{a} [/mm] $ = $ [mm] \alpha \vec{b}) [/mm] $
Es können auch mehrere Vektoren linearabhängig sein. $ [mm] (\vec{a} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{i=1}^{n} \alpha_i \vec{b_i}) [/mm] $ "
-> Aber das bedeutet ja doch gerade dass Vektor b parallel zu a ist. Es wird doch nur mit nem Skalar multipliziert, also ändert sich die Richtung doch nicht.
"Die engliche Version ist da ausführlicher,
besonders unter []History und Generalizations."
->Danke, hast Recht, die englische Version ist wirklich ergiebiger. Die Verbindung von Greenschen Funktionen und Eigenfunktionen scheint die Fredholm Theorie zu sein. So wirklich klar ist mir der Zusammenhang durch die Formel aber nicht geworden - Auszug aus Wikipedia:
Given a Hilbert space as above, the kernel may be written in the form
[mm] K(x,y)=\sum_n \frac{\psi_n^*(x) \psi_n(y)} {\omega_n}
[/mm]
where [mm] \psi_n^* [/mm] is the dual to [mm] \psi_n. [/mm] In this form, the object K(x,y) is often called the Fredholm operator or the Fredholm kernel. That this is the same kernel as before follows from the completeness of the basis of the Hilbert space, namely, that one has
[mm] \delta(x-y)=\sum_n \psi_n^*(x) \psi_n(y). [/mm]
http://en.wikipedia.org/wiki/Fredholm_theory
Kann man mir das erläutern/verbildlichen?
Danke!!!!
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> " "parallel" finde ich hier problematisch.
> (Vielleicht noch in Anführungszeichen, wenn gilt [mm]\vec{a}[/mm]
> = [mm]\alpha \vec{b})[/mm]
> Es können auch mehrere Vektoren
> linearabhängig sein. [mm](\vec{a}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} \alpha_i \vec{b_i})[/mm]
> "
>
> -> Aber das bedeutet ja doch gerade dass Vektor b parallel
> zu a ist. Es wird doch nur mit nem Skalar multipliziert,
> also ändert sich die Richtung doch nicht.
>
Wenn ich meili richtig verstanden habe liegt die Betonung mehr auf
> Es können auch mehrere Vektoren linear abhängig sein.
Bei z.B. 3 Vektoren nenn man das dann "komplanar", weil sie in der selben Ebene liegen.
Das lin. abh. Vektoren "parallel" zueinander sind hast du allerdings richtig verstanden :)
LG Scherzkrapferl
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(Frage) überfällig | | Datum: | 18:00 Fr 20.04.2012 | | Autor: | LoKiaK |
"Das lin. abh. Vektoren "parallel" zueinander sind hast du allerdings richtig verstanden :) "
Fein, fein, das freut mir  Kann ich an die Frage nen Haken machen. Wenn mir nun jemand Monsieur Fredholm bzw Eigenfunktionen (siehe meinen letzten Beitrag) noch ein wenig näher bringen könnte wäre ich üüüberglücklich. Unter Set von Eigenfuntionen [mm] \psi_n(x) [/mm] stelle ich momentan z.B. die Achsen des karthesischen Koordinatensystems (oder bei den Zernikepolynomen die polaren Achsen) vor. Stimmt meine Annahme? Was sagt mir die Formel $ [mm] K(x,y)=\sum_n \frac{\psi_n^\cdot{}(x) \psi_n(y)} {\omega_n} [/mm] $ ?
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 So 22.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Sa 21.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 So 15.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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