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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 Do 24.01.2008 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
[mm] Eig_f (1)=set(x\el IR^3 [/mm] : [mm] (x_1;x_2;x_3)=r*(1;1;2), r\el\ [/mm] IR) und
[mm] Eig_f (2)=set(x\el IR^3 [/mm] : [mm] (x_1;x_2;x_3)=s*(1;2;3), s\el\ [/mm] IR) |
zum Vektor: dieser vektor ist doch aus dem [mm] \IR^{3} [/mm] (hat also drei Einträge), also hat er die Dimension 3? Oder kann man überhaupt sagen, dass ein Vektor eine Dimension hat?
So, nun eine Frage zu den Eigenräumen....
1)Eigenraum=Menge aller Eigenvektoren oder?
2)Der erste soll die Dimension 1 haben und der 2. zwei. Ich hab mir das dann wie folgt erklärt. Der erste Eigenraum, besteht ja aus ganz vielen vektoren, die sind aber alle linear abhäning. Der 2.Eigenraum besteht aus 2 lin unabhängigen vektoren, deshalb besitzt er die Dimension 2.
Wenn das stimmen sollte, müsste der Vektor [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] die Dimension eins haben?
und noch eine kurze Frage
Dimension vom Eigenraum=geometrische Vielfachheit
Eigenvektoren=algebraische Vielfachheit?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:25 Do 24.01.2008 | | Autor: | Kreide |
ich meinte die beiden
[mm] Eig_f [/mm] (1)= { x [mm] \in \IR^3 [/mm] : [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=r*\vektor{3 \\-1 \\ 3}, [/mm] r [mm] \in \IR) [/mm] } und
[mm] Eig_f [/mm] (2)={ x [mm] \in \IR^3 [/mm] : [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=s*\vektor{2 \\ 1 \\0}+t*\vektor{2 \\ 0 \\ 1 }, [/mm] s,t [mm] \in \IR)}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Do 24.01.2008 | | Autor: | Kreide |
hab die zwei richtien eigenräume jetzt eingegeben, stimmt jetzt meine aussage?
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Hallo,
der erste Eigenraum wird von nur einem Vektor [mm] (\not= [/mm] 0) aufgespannt, hat also die d´Dimension 1.
Der zweite Eigenraum wird v. zwei linear unabhängigen Vektoren aufgespannt, hat also die Dimension 2.
Bei Eigenräume enthalten unendlich viele Eigenvektoren zum jeweiligen Eigenwert,
die zum Eigenwert 1 liegen alle auf einer Geraden, die zum Eigenwert 2 in einer Ebene.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Do 24.01.2008 | | Autor: | Kroni |
> [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm]
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> [mm]Eig_f (1)=set(x\el IR^3[/mm] : [mm](x_1;x_2;x_3)=r*(1;1;2), r\el\[/mm]
> IR) und
>
> [mm]Eig_f (2)=set(x\el IR^3[/mm] : [mm](x_1;x_2;x_3)=s*(1;2;3), s\el\[/mm]
> IR)
> zum Vektor: dieser vektor ist doch aus dem [mm]\IR^{3}[/mm] (hat
> also drei Einträge),
Hi,
das ist korrekt.
also hat er die Dimension 3?
Nein Über Vektoren kann man m.E. nichts über die Dimension sagen. Du kannst nur sagen, dass es ein Vektor aus dem [mm] \IR^3 [/mm] ist. Man kann nur etwas über Dimensionen sagen, wenn man über Räume oder Unterräume ec. redet, denn da ist die Dimension bestimmt als die Anzahl der Basisvektoren. Deshalb ist auch die Dimension des [mm] \IR^3 [/mm] 3.
Oder kann
> man überhaupt sagen, dass ein Vektor eine Dimension hat?
>
>
> So, nun eine Frage zu den Eigenräumen....
>
> 1)Eigenraum=Menge aller Eigenvektoren oder?
Ein Eigenraum ist eigentlich ein Raum, der alle Eigenvektoren zu einem gewissen Eigenwert enthält.
Der Eigenraum zum Eigenwert c ist dann genau der Nullraum der Matrix A-c1, wobei 1 die nxn Einheitsmtarix sei.
>
> 2)Der erste soll die Dimension 1 haben und der 2. zwei.
Wie meinst du das? Was ist der erste, und was ist der zweite? Wovon sprichst du. Tut mir leid, aber da kann ich dir nicht gut folgen. Meinst du die Dimensionen eines Eigenraumes?
>Ich
> hab mir das dann wie folgt erklärt. Der erste Eigenraum,
> besteht ja aus ganz vielen vektoren, die sind aber alle
> linear abhäning. Der 2.Eigenraum besteht aus 2 lin
> unabhängigen vektoren, deshalb besitzt er die Dimension 2.
Ich verstehe dich so: Du fragst, warum einmal die Dimension eines Eigenraums 1 und einmal 2 ist?
Das ist so: Die Dimension eines Eigenraumes kann höchstens so groß sein, wie die Multiplizität deines Eigenwertes. Sieht dein char. Polynom z.B. so aus: t2*(5-t) , dann hat dein Eigenwert 0 die Multiplizität 2, und der Nullraum zu deiner Matrix A , da A-0*1=A kann dann höchstens die Dimension 2 haben. Der EW 5 dagegen hat Mulltiplizität 1, und somit hat dann der Eigenraum zum EW 5 höchstens die Dimension 1.
Das bedeutet, dass der Nullraum von A höchstens durch zwei Basisvektoren aufgespannt wird, und der Nullraum von A-5*1 höchstens von einem Aufgespannt wird. Wenn deine Matrix A dann diagonalsierbar ist, sollte sie eine 3x3 Matrix sein?!
>
>
> Wenn das stimmen sollte, müsste der Vektor [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm]
> die Dimension eins haben?
Der Vektor nicht. Der Eigenraum, der nur von dem Vektor aufgespannt wird, wo also dieser Vektor eine Absis ist, hat die Dimension 1.
>
>
> und noch eine kurze Frage
> Dimension vom Eigenraum=geometrische Vielfachheit
>
> Eigenvektoren=algebraische Vielfachheit?
Die Multiplizität, die ich oben angesprochen habe, also die Anzahl, wie oft dein EW Nullstelle deines char. Polynoms ist, nennt man die algebraische Vielfachheit.
Und die algebraische Vielfachheit ist immer gräßer gleich der Dimension des Eigenraums.
Was die geom. Vielfachheit ist, weiß ich leider (noch) nicht.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Do 24.01.2008 | | Autor: | Kreide |
> Ich verstehe dich so: Du fragst, warum einmal die Dimension
> eines Eigenraums 1 und einmal 2 ist?
> Das ist so: Die Dimension eines Eigenraumes kann höchstens
> so groß sein, wie die Multiplizität deines Eigenwertes.
Multiplizität des Eigenwertes
bedeutet das, wie häufig ein Eigenwert vorkommt?
> Sieht dein char. Polynom z.B. so aus: t2*(5-t) , dann hat
> dein Eigenwert 0 die Multiplizität 2,
dann würde meine vermutung ja nicht stimmen, es sei denn du meintest [mm] t^{2}*(5-t)
[/mm]
dann käme der eigenwert 0, 2 mal vor..
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> > Ich verstehe dich so: Du fragst, warum einmal die Dimension
> > eines Eigenraums 1 und einmal 2 ist?
> > Das ist so: Die Dimension eines Eigenraumes kann
> höchstens
> > so groß sein, wie die Multiplizität deines Eigenwertes.
>
> Multiplizität des Eigenwertes
>
> bedeutet das, wie häufig ein Eigenwert vorkommt?
Hallo,
mit Multiplizität bezeichnet Kroni die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes, also die Vielfachheit der Nullstelle im charakteristischen Polynom.
> > Sieht dein char. Polynom z.B. so aus: t2*(5-t) , dann
> hat
> > dein Eigenwert 0 die Multiplizität 2,
>
> dann würde meine vermutung ja nicht stimmen, es sei denn du
> meintest [mm]t^{2}*(5-t)[/mm]
Natürlich meint der das.
Gruß v. Angela
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