Eigenraum berechnen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Betrachte die Matrix
[mm] A=\pmat{1 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & 3 & 1}\in (\IC)_{3}.
[/mm]
a) Überprüfen Sie, ob 7, i, 2, -2+i, -2-i Eigenwerte von A sind.
b) Bestimmen Sie jeweils für einen der reellen und einen der komplexen Eigenwerte von A die zugehörigen Eigenräume. |
Das charakteristische Polynom ist: [mm] x^3-3x^2-23x-35
[/mm]
Weiterhin hab ich herausbekommen,dass folgende Werte Eigenwerte dieser Matrix sind: 7, -2+i und -2-i
Ich war mit jetzt nur bei der Berechnung der Eigenräume ein wenig unsicher...ich hab wie folgt gerechnet:
[mm] M*v=\lambda*v
[/mm]
[mm] \pmat{1 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & 3 & 1}*\vektor{v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3}}= 7*\vektor{v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3}}
[/mm]
[mm] v_{1}*4v_{1}*2v_{1}=7v_{1}
[/mm]
[mm] 8v_{1}^3-7v_{1}=0
[/mm]
[mm] v_{1}(8v_{1}^2-7)=0
[/mm]
[mm] v_{1}=\wurzel{\bruch{7}{8}}
[/mm]
und genau die selbe Prozedur mit [mm] v_{2} [/mm] und [mm] v_{3}
[/mm]
dann komm ich auf:
[mm] \vektor{v_{1}\\ v_{2}\\ v_{3}}= \vektor{\wurzel{\bruch{7}{8}}\\ \wurzel{\bruch{7}{8}} \\ \wurzel{\bruch{7}{9}}}
[/mm]
kann das hinkommen wenn der Eigenwert 7 ist?Lg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Mi 09.04.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Betrachte die Matrix
>
> [mm]A=\pmat{1 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & 3 & 1}\in (\IC)_{3}.[/mm]
>
> a) Überprüfen Sie, ob 7, i, 2, -2+i, -2-i Eigenwerte von A
> sind.
> b) Bestimmen Sie jeweils für einen der reellen und einen
> der komplexen Eigenwerte von A die zugehörigen Eigenräume.
> Das charakteristische Polynom ist: [mm]x^3-3x^2-23x-35[/mm]
>
> Weiterhin hab ich herausbekommen,dass folgende Werte
> Eigenwerte dieser Matrix sind: 7, -2+i und -2-i
>
> Ich war mit jetzt nur bei der Berechnung der Eigenräume ein
> wenig unsicher...ich hab wie folgt gerechnet:
>
> [mm]M*v=\lambda*v[/mm]
>
> [mm]\pmat{1 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & 3 & 1}*\vektor{v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3}}= 7*\vektor{v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3}}[/mm]
>
> [mm]v_{1}*4v_{1}*2v_{1}=7v_{1}[/mm]
Wie ist denn diese Gleichung zustande gekommen? Rekapitulier doch bitte mal, wie man 2 Matrizen (ein Vektor ist eine n[mm]\times[/mm]1-Matrix) miteinander multipliziert. Wenn du das richtig machst, sieht die Sache gleich ganz anders und hoffentlich besser aus.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
sollte man nicht lieber addieren als zu multiplizieren? Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Mi 09.04.2008 | | Autor: | statler |
> sollte man nicht lieber addieren als zu multiplizieren? Lg
Ja, das sollte man allerdings!
|
|
|
| |
|
und dann ist der Eigenraum ja [mm] :\vektor{1 \\ 1 \\ 1}, [/mm] kann das hinkommen?
wenn ja dann hätte ich ne Frage wie ich den Eigenvektor ausrechne, wenn ich eine komplexe Zahl als Eigenwert habe,ungefähr so: ?
[mm] \pmat{1 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & 3 & 1}*\vektor{v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3}}= (-2+i)\vektor{v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3}}
[/mm]
[mm] v_{1}+4v_{1}+2v_{1}=(-2+i)v_{1}
[/mm]
[mm] 5v_{1}-iv_{1}=0
[/mm]
[mm] v_{1}(5-i)=0 [/mm] , sodass [mm] v_{1}=0 [/mm] ist, kann das stimmen? Lg
|
|
|
| |
|
Hallo Not_Helpless,
> und dann ist der Eigenraum ja [mm]:\vektor{1 \\ 1 \\ 1},[/mm] kann
> das hinkommen?
Das ist ja kein Vektorraum, sondern ein einzelner Vektor.
Du hast einen Eigenvektor zum Eigenwert [mm] $\lambda=7$ [/mm] berechnet, der natürlich auch im Eigenraum von A zu diesem Eigenwert liegt.
Der Eigenraum ist der Kern der Matrix [mm] $A-\lambda\mathbb{E}_3$, [/mm] wobei [mm] $\mathbb{E}_3$ [/mm] die [mm] $3\times [/mm] 3$-Einheitsmatrix ist, also hier Lösungsmenge bzw. Lösungsraum der Matrixgleichung [mm] $(A-7\mathbb{E}_3)\cdot{}\vektor{v_1\\v_2\\v_3}=\vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
Dein Rechenweg ist insofern richtig, als dass du ja eigentlich nicht nur den einen Eigenvektor [mm] $\vektor{1\\1\\1}$ [/mm] als Lösung herausbekommst, sondern auch alle Vielfachen als Lösung hast, außer dem 0-fachen, da ein Eigenvektor per Def. [mm] $\neq \vec{0}$ [/mm] ist
Da der Nullvektor aber zu jedem VR dazugehören muss, kannst du den Eigenraum zum Eigenwert 7 als Vereinigung der Menge aller Eigenvektoren zum Eigenwert 7 und dem Nullvektor schreiben
Das ist dann der Spann, also die Menge aller Linearkombinationen von [mm] $\vec{v}=\vektor{1\\1\\1}$, [/mm] bezeichnet als [mm] $span(\vec{v})$ [/mm] oder [mm] $\langle\vektor{1\\1\\1}\rangle$
[/mm]
>
> wenn ja dann hätte ich ne Frage wie ich den Eigenvektor
> ausrechne, wenn ich eine komplexe Zahl als Eigenwert
> habe,ungefähr so: ?
>
> [mm]\pmat{1 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & 3 & 1}*\vektor{v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3}}= (-2+i)\vektor{v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3}}[/mm]
>
> [mm]v_{1}+4v_{1}+2v_{1}=(-2+i)v_{1}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es wird doch Zeile mit Spalte multipliziert:
[mm] $\pmat{\red{1} & \blue{4} & \green{2} \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & 3 & 1}\cdot{}\vektor{\red{v_{1}} \\\blue{ v_{2}} \\\green{v_{3}}}=\vektor{\red{1\cdot{}v_1}+\blue{4\cdot{}v_2}+\green{2\cdot{}v_3}\\.....\\.....}=\vektor{(-2+i)v_1\\(-2+i)v_2\\(-2+i)v_3}$
[/mm]
> [mm]5v_{1}-iv_{1}=0[/mm]
>
> [mm]v_{1}(5-i)=0[/mm] , sodass [mm]v_{1}=0[/mm] ist, kann das stimmen? Lg
Nee
>
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
um nun die Werte für v rauszubekommen benötigt man dann ja ne Ewigkeit bis man das Gleichungssystem gelöst hat...gibts da nicht ne einfachere Methode? Lg
|
|
|
| |
|
> um nun die Werte für v rauszubekommen benötigt man dann ja
> ne Ewigkeit bis man das Gleichungssystem gelöst hat...
Hallo,
Du redest über dieses Gleichungssystem?
> $ [mm] \pmat{\red{1} & \blue{4} & \green{2} \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & 3 & 1}\cdot{}\vektor{\red{v_{1}} \\\blue{ v_{2}} \\\green{v_{3}}}=\vektor{\red{1\cdot{}v_1}+\blue{4\cdot{}v_2}+\green{2\cdot{}v_3}\\.....\\.....}=\vektor{(-2+i)v_1\\(-2+i)v_2\\(-2+i)v_3} [/mm] $
Dafür braucht "man" keine Ewigkeit.
Ist ist doch ein ganz normales LGS. 3 Variablen, 3 Gleichungen.
Das einzige, was ungewohnt sein mag, sind die komplexen Koeffizienten, aber Deinen Gauß-Algorithmus kannst Du dafür genauso verwenden. Man muß halt mit komplexen Zahlen rechnen können.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hey ich hab da jetzt auch noch ne Frage dazu!
Also ich bekomme jetzt zum EW 7 raus, dass für den Eigenvektor [mm] v_{1} [/mm] = [mm] v_{2} [/mm] = [mm] v_{3} [/mm] ist. Kann das Stimmen? und wie sieht dieser dann aus?
Und zum EW (-2 + i) habe ich raus, dass [mm] v_{1} [/mm] = [mm] v_{2} [/mm] = [mm] v_{3} [/mm] = 0.
Kann das sein? Weiter oben hat schachuzipus geschrieben, dass der EV [mm] \not= [/mm] 0 also was mach ich falsch?
danke schonmal für Hilfe
|
|
|
| |
|
Hallo FragenueberFragenusw,
> Hey ich hab da jetzt auch noch ne Frage dazu!
>
> Also ich bekomme jetzt zum EW 7 raus, dass für den
> Eigenvektor [mm]v_{1}[/mm] = [mm]v_{2}[/mm] = [mm]v_{3}[/mm] ist. Kann das Stimmen?
> und wie sieht dieser dann aus?
Der Eigenvektor zum Eigenwert 7 sieht so aus: [mm]\pmat{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> Und zum EW (-2 + i) habe ich raus, dass [mm]v_{1}[/mm] = [mm]v_{2}[/mm] =
> [mm]v_{3}[/mm] = 0.
> Kann das sein? Weiter oben hat schachuzipus geschrieben,
> dass der EV [mm]\not=[/mm] 0 also was mach ich falsch?
Poste doch mal bitte Deine Rechenschritte zur Ermittlung des Eigenvektors zu diesem Eigenwert.
>
> danke schonmal für Hilfe
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Meine Rechnung:
[mm] v_{1}+4v_{2}+2v_{3}=-2v_{1}+iv_{1} [/mm] (i)
[mm] 2v_{1}+v_{2}+4v_{3}=-2v_{2}+iv_{2} [/mm] (ii)
[mm] 3v_{1}+3v_{2}+v_{3}=-2v_{3}+iv_{3} [/mm] (iii)
2(i)-(ii): [mm] 4v_{1}-2iv_{1}+11v_{2}-iv_{2}=0 [/mm] => [mm] v_{1}=\bruch{-11v_{2}+iv_{2}}{4-2i} [/mm] (IV)
3(ii)-2(iii): [mm] -15v_{2}-3iv_{2}+6v_{3}+2iv_{3}=0 [/mm] => [mm] v_{3}=\bruch{15v_{2}+3iv_{2}}{6+2i} [/mm] (V)
(IV)&(V)in(ii) und [mm] v_{2} [/mm] ausklammer
=> [mm] v_{2}(...)=0 [/mm] => [mm] v_{2} [/mm] = 0 = [mm] v_{1} [/mm] = [mm] v_{3}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo FragenueberFragenusw,
> Meine Rechnung:
>
> [mm]v_{1}+4v_{2}+2v_{3}=-2v_{1}+iv_{1}[/mm] (i)
> [mm]2v_{1}+v_{2}+4v_{3}=-2v_{2}+iv_{2}[/mm] (ii)
> [mm]3v_{1}+3v_{2}+v_{3}=-2v_{3}+iv_{3}[/mm] (iii)
>
> 2(i)-(ii): [mm]4v_{1}-2iv_{1}+11v_{2}-iv_{2}=0[/mm] =>
> [mm]v_{1}=\bruch{-11v_{2}+iv_{2}}{4-2i}[/mm] (IV)
>
> 3(ii)-2(iii): [mm]-15v_{2}-3iv_{2}+6v_{3}+2iv_{3}=0[/mm] =>
> [mm]v_{3}=\bruch{15v_{2}+3iv_{2}}{6+2i}[/mm] (V)
>
> (IV)&(V)in(ii) und [mm]v_{2}[/mm] ausklammer
> => [mm]v_{2}(...)=0[/mm] => [mm]v_{2}[/mm] = 0 = [mm]v_{1}[/mm] = [mm]v_{3}[/mm]
>
>
>
Die Gleichungen 2(i)-(ii) und 3(ii)-2(iii) sind nochmals nachzurechnen.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo
bei 2(i)-(ii) komme ich auf folgendes: [mm] -5v_{2}-4v_{3}=-2iv_{1}+iv_{2}, [/mm] sodass [mm] v_{1}=\bruch{5v_{2}+iv_{2}}{-4+2i}
[/mm]
bei 3(ii)-2(iii): [mm] -3v_{2}-2v_{3}=-3iv_{2}+2iv_{3}, [/mm] sodass [mm] v_{2}=\bruch{2v_{3}+2iv_{3}}{-3+3i}
[/mm]
kann das hinkommen? liebe grüße
|
|
|
| |
|
Gibts denn nicht irgendwo einen Rechner der auch Gleichungssysteme mit komplexen Zahlen lösen kann? 
|
|
|
| |
|
Hallo Not_helpless,
hmmm, schreib's doch mal ausführlicher auf:
$2(i)$ ist: [mm] $2v_1+8v_2+4v_3=-4v_1+i2v_1$
[/mm]
$-(ii)$ ist: [mm] $-2v_1-v_2-4v_3=2v_2-iv_2$
[/mm]
Also ergibt $2(i)-(ii)$ bzw. $2(i)+(-(ii))$ doch:
[mm] $(2v_1+8v_2+4v_3)+(-2v_1-v_2-4v_3)=(-4v_1+i2v_1)+(2v_2-iv_2)$
[/mm]
Also [mm] $7v_2=-4v_1+2v_2+i(2v_1-v_2)$
[/mm]
bzw. [mm] $(4-2i)v_1=(-5-i)v_2$
[/mm]
...
Diese Art zu rechnen ist übrigen meiner Meinung nach ziemlich unübersichtlich.
Berechne doch in Matrixschreibweise den [mm] $Kern(A-(-2+i)\mathbb{E})$
[/mm]
Bringe dazu die Matrix [mm] $A-(-2+i)\mathbb{E})= \pmat{1 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & 3 & 1}- \pmat{-2+i & 0 & 0 \\ 0 & -2+i & 0 \\ 0 & 0 & -2+i}= \pmat{3-i & 4 & 2 \\ 2 & 3-i & 4 \\ 3 & 3 & 3-i}$ [/mm] in Zeilenstufenform
Das ist mit dem Gaussverfahren in 3-4 Umformungsschritten gemacht, eliminiere zuerst den Eintrag [mm] $a_{21}$
[/mm]
Dazu addiere das -2fache der 1.Zeile zum (3-i)fachen der 2.Zeile
Damit wird der Eintrag [mm] $a_{21}$ [/mm] zu 0
Dann addiere das -3fache der 1.Zeile zum (3-i)fachen der dritten Zeile, dann verschwindet auch [mm] $a_{31}$
[/mm]
usw.
Schließlich bekommst du in der 3.Zeile die gewünschte Nullzeile und hast dann deinen eindim. Eigenraum zu dem Eigenwert [mm] $\lambda=-2+i$
[/mm]
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
vllt. versteh ich dich richtig,so:?Dieses Gleichungssystem dabei 0 setzen oder?
(3-i)x+ 4y+ 2z=0
2x+ (3-i)y+ 4z=0
3x+ 3y+ (3-i)z=0
lg
|
|
|
| |
|
Hallo Not_Helpless,
> vllt. versteh ich dich richtig,so:?Dieses Gleichungssystem
> dabei 0 setzen oder?
>
> (3-i)x+ 4y+ 2z=0
> 2x+ (3-i)y+ 4z=0
> 3x+ 3y+ (3-i)z=0
Genau.
>
> lg
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
ungefähr so?:
(I) (3-i)x+4y+2z=0
(II) 2x+(3-i)v+4z=0
(III) 3x+3y+(3-i)z=0
------------------------------
(3-i)x+4y+2z=0
(I+II) [mm] -8y+(3-i)^{2}y-4z+4z(3-i)=y-6iy+i^{2}y+8z-4iz=y(1-6i+i^{2})+z(8-4i)=0
[/mm]
(I+III) [mm] -12y3y(3-i)-6z+(3-i)^{2}z=-3y-3iy+3z-6iz+1^{2}z=y(-3-3i)+z(3-6i+i^{2})=0 [/mm]
------------------------------
I (3-i)x+4y+2z=0
I+II [mm] y(1-6i+i^{2})+z(8-4i)=0
[/mm]
I+III [mm] y(-3-3i)+z(3-6i+i^{2})=0
[/mm]
hoffentlich sind da nicht so viele schusselfehler drinn... wie müsste man es jetzt weiterführen? Lieben Gruß
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Tigerlilli,
ich sehe nicht so ganz das Ziel deiner Umformungen.
Zeil muss es doch sein, eine Stufenform hinzubasteln, also zu versuchen, jeweils den ersten Eintrag in den Gleichungen (II) und (III) zu eliminieren, also zu 0 zu machen
Dazu hatte ich oben doch schon nen Anfang gesagt.
Du hast deine Gleichungen:
> (I) (3-i)x+4y+2z=0
> (II) 2x+(3-i)v+4z=0
> (III) 3x+3y+(3-i)z=0
Wenn du hier das -2fache der Gleichung (I) zum (3-i)fachen der Gleichng (II) addierst, bekommst du :
$\vmat{(I')&&(3-i)x&+&4y&+&2z&=&0\\(II')&&0\cdot{}x&-&6iy&+&(8-4i)z&=&0\\(III')&&3x&+&y&+&(3-i)z&=&0$
Nun (s.oben) kannst du genauso den ersten Eintrag in Gleichung (III') weghauen:
Addiere das -3fache von (I') zum (3-i)fachen von (III')
Das gibt:
$\vmat{(I'')&&(3-i)x&+&4y&+&2z&=&0\\(II'')&&&-&6iy&+&(8-4i)z&=&0\\(III'')&&&&(-3-3i)y&+&(2-6i)z&=&0$
Du musst immer zusehen, dass du so erweiterst, dass die Einträge, die du weg haben willst, denselben Koeffizienten haben.
Jetzt mach du weiter.
Du musst nur noch den Eintrag für y in (III'') eliminieren, dann hast du die Stufenform.
Schaue dir also die Einträge für y in (II'') und (III'') an und überlege, wie du sie erweitern musst, damit sie sich beim Addieren wegheben...
Wenn du dir das mal ganz genau überlegst, siehst du, dass die Gleichungen (II'') und (III'') Vielfache voneinander sind.
Du wirst also für die letzte Gleichung (III''') 0=0 erhalten - rechne es aus
Damit kannst du dann, beginnend mit Gleichung (II'') rückwärts die allg. Lösung bestimmen, du hast mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten einen frei wählbaren Parameter, $z:=t$ mit $t\in\IC$
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
mmmmh,ich hab meinen fehler gefunden,ich hab zwar genauso gerechnet wie du,nur habe ich vergessen für [mm] i^{2} [/mm] eine -1 zu schreiben...schussel
Ich bin auch darauf gekommen,dass die II'' und III''gleich sein müssen. Nur hab ich keine Ahnung wie du nun weiter vorgehen willst. Ich kannte es immer nur so,dass wenn ich 2 Gleichungen und 3 verschiedene Parameter habe,ich da nichts mehr machen könnte,deswegen ist mir das von dir jetzt völlig neu.
Wie meinst du das: "Damit kannst du dann, beginnend mit Gleichung (II'') rückwärts die allg. Lösung bestimmen, du hast mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten einen frei wählbaren Parameter, $ z:=t $ mit $ [mm] t\in\IC [/mm] $ "
sry,das kann ich leider nicht nachvollziehen :'-(
Liebe Grüße!
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
das geht genauso wie bei reellen Gleichungssystemen.
Wenn du da weniger Gleichungen als Unbekannte hast, so ist das nicht eindeutig lösbar und du hast entsprechen frei wählbare Parameter.
Hier so: Wir nehmen mal an, wir hätten die dritte Gleichung schon auf 0=0 gebracht, dann haben wir:
$\vmat{&&(3-i)x&+&4y&+&2z&=&0\\&&&-&6iy&+&(8-4i)z&=&0\\&&&&&&0&=&0$
Wir haben also 2 Gleichungen und 3 Unbekannte x,y,z, also einen frei wählbaren Parameter, nehmen wir $z=t$ mit $t\in\IC$
Dann ist Gleichung 2: $-6iy+(8-4i)t=0\Rightarrow -6iy=(-8+4i)t\Rightarrow y=\frac{-8+4i}{-6i}t=\frac{-4+2i}{-3i}t=\frac{(-4+2i)\blue{3i}}{\blue{3i}(-3i)}t=\frac{-6-12i}{9}t=\left(-\frac{2}{3}-\frac{4}{3}i\right)t$
Das nun in die erste Gleichung einsetzen:
$(3+i)x+4y+2z=0\Rightarrow (3+i)x+4\cdot{}\left(-\frac{2}{3}-\frac{4}{3}i\right)t+2t=0$
$\Rightarrow (3+i)x=\left(\frac{8}{3}+\frac{16}{3}i\right)t-2t=\frac{2}{3}t(1+8i)$
$\Rightarrow x=\frac{2}{3}t\left(\frac{1+8i}{3+i}\right)=...=\left(\frac{11}{15}+\frac{23}{15}i\right)t$
Damit hast du deinen Eigenraum zum Eigenwert -2+i gefunden, nämlich
$\langle\vektor{\frac{11}{15}+\frac{23}{15}i\\-\frac{2}{3}-\frac{4}{3}i\\1}\rangle=\langle\vektor{11+23i\\-10-20i\\15}\rangle$
Puh, ohne Gewähr für Rechenfehler
Statt t zu nehmen, kannst du auch z stehen lassen und die Lösungen für x und y in Abhängigkeit von z ausdrücken, aber das ist dasselbe
Mache es so, wie du's gewohnt bist
LG
schachuzipus
|
|
|
|
