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| Aufgabe | Es sei folgende 3X3 Matrix A gegeben
1 1 1
1 0 1
1 1 1
Bestimmen Sie alle Eigenwerte von A und die dazugehörenden Eigenräume. |
Ok, ich hab am Ende dann ein charakteristishen Polynom herausbekommen.
-Lambda³ + 2Lambda² + 2Lambda
Eigenwerte:
Lambda1= 0
Lambda2,3= 1 +- Wurzel aus 3 (des Polynoms Lambda²-2Lambda-2)
Ok, Eigenwerte hab ich. Wie bestimmt man nun Eigenräume der einzelnen Lambdas? Das hab ich nie so richtig gelernt...
Danke im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Fr 15.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
die Eigenwerte stimmen.
Um die Eigenvektoren, bzw. eine Basis des Eigenraums zu bestimmen gehst du so vor:
Du berechnest ja die Determinante von A-t*1 wobei 1 die Einheitsmatrix ist.
Um dann eine Basis des Eigenraums zu berechnen setzt du für t einen Eigenwert ein, berechnest A-t1 und bestimmst davon den Nullraum, sprich alle Lsungen des Gleichungssystems (A-t1)x=0.
Versuch dich daran mal, dann hast du eine Basis des Eigenraums zum Eigenwert t. D.h. alles drei Werte von t einmal einsetzen, den Nullraum berechnen und dann bist du fertig.
LG
Kroni
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Ähm sry, aber ich komme damit nicht viel weiter. Könntest du es bitte mit den o.g. Zahlen probieren, damit ich es praktisch sehe?
Wäre sehr nett.
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Hallo,
für die Matrix [mm] A:=\pmat{ 1 & 1&1 \\ 1 & 0&1 \\ 1 & 1&1 } [/mm] hast Du den Eigenwert 0 errechnet, und nun möchtest Du den Eigenraum zum Eigenwert 1 errechnen.
Hierfür ist Kern (A-0*E) zu berechnen , dh. der Lösungsraum des GSs (A-0*E)x=0.
Konkret mit Zahlen:
berechne Kern [mm] \pmat{ 1-0 & 1&1 \\ 1 & 0-0&1 \\ 1 & 1&1-0 }=Kern \pmat{ 1 & 1&1 \\ 1 & 0&1 \\ 1 & 1&1 }
[/mm]
Gruß v. Angela
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Ok, das hab ich jetzt verstanden. Danke.
Aber: Ich habe die vorgegebene Lösung der Eigenräume und da kommt folgendes raus:
ER für Lambda 1:
E(0)= {lambda ( -1 ) }
0
1
E(1+wurzel aus 3) = {lambda ( 1) lambda R}
2/1+wurzel aus 3
1
E(1-wurzel aus 3)= {lambda (1 ) lambda R}
2/1-wurzel aus 3
1
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> Aber: Ich habe die vorgegebene Lösung der Eigenräume und da
> kommt folgendes raus:
Hallo,
ich habe mein Post eben editiert, ich hatte ertwas falsch gelesen in Deinem Eingangspost. Es ist ja 1 gar kein Eigenwert, sondern 0.
Folglich gibt's keine Eigenraum für 1, sonder für 0 und für die beiden anderen Eigenwerte.
> E(0)= {lambda ( -1 ) }
> 0
> 1
>
Der stimmt, die anderen nachzurechnen ist mir etwas mühsam, aber wenn Du das Prinzip verstanden hast, kann ja höchstens noch ein Rechenfehler drin sein.
Gruß v. Angela
> E(1+wurzel aus 3) = {lambda ( 1)
> lambda R}
> 2/1+wurzel aus 3
> 1
>
> E(1-wurzel aus 3)= {lambda (1 )
> lambda R}
> 2/1-wurzel aus 3
> 1
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Sry, ich glaub ich steh gerade auf dem Schlauch...
Der erste Wert des Eigenraumes ist ja -1.
nach der formel also: A-0*1= 1-0*1 = 1
und nicht -1.
Wie fahr ich fort, um 0 und 1 herauszubekommen?
Sorry, aber irgendwie komm ich grad nicht drauf.
Vielen Dank!
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> Der erste Wert des Eigenraumes ist ja -1.
??? Ich weiß echt nicht, was Du damit meinst.
Meinst Du die erste Komponente des Eigenvektors zu 0 ?
>
> nach der formel also: A-0*1= 1-0*1 = 1
Was soll das für eine Formel sein?
Ich weiß jetzt wirklich nicht, was Du willst.
Kannst Du die Eigenvektoren nicht ausrechnen? Aber Du hast es doch getan.(?)
Ich bin jetzt echt ratlos.
Gruß v. Angela
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Matrix
1 1 1
1 0 1
1 1 1
Ihr habt mir doch die Formel gegeben zur Bestimmung der Eigenräume A-t*E
Bei mir in der Lösung steht:
Der Eigenraum zu Lambda1 lautet:
E(0) = {lambda* ( -1) I lambda R}
0
1
Meine Frage: wie kommt man auf -1, 0, 1?
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Hallo,
mach Dich bitte mit dem Formeleditor vertraut, Eingabehifen findest Du unterhalb des Eingabefensters. So ist das Lesen recht unerfreulich.
Die Berechnung des Eigenraumes ist die Berechnung des Kerns der Matrix.
Für den Eigenwert 0 bringst Du zuerst A-0*E auf Zeilenstufenform, dann kannst Du den Kern bequem bestimmen.
> Matrix
> 1 1 1
> 1 0 1
> 1 1 1
In ZSF heißt dies
[mm] \pmat{ 1 & 1&1 \\ 0 & 1&0 \\ 0 & 0&0 \\ }
[/mm]
Dem kannst Du entnehmen, daß y=0 sein muß und x=-y-z=-z
Also haben alle Lösungen die Gestalt
[mm] \vektor{-z \\ 0\\z}=z\vektor{-1\\ 0\\1}.
[/mm]
Für die Berechnung der Eigenräume mußt Du also Kerne v. Matrizen berechnen, eventuell mußt Du dies nacharbeiten.
Gruß v. Angela
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