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| Aufgabe | Mit A [mm] \subset \IR [/mm] Lebesgue messbar und [mm] \lambda [/mm] dem Lebesgue Mass zeige:
1) [mm] $\forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \exists A_{\epsilon}$ [/mm] mit $A [mm] \subset A_{\epsilon}$ [/mm] und [mm] $\lambda(A_\epsilon) \le \lambda(A)+\epsilon$
[/mm]
2) wenn $ [mm] \exists [/mm] M > 0 $ mit $ A [mm] \subset [/mm] [-M,M]$ dann $ [mm] \forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists B_\epsilon [/mm] $ abgeschlossen mit
$ [mm] B_\epsilon \subset [/mm] A $ mit $ [mm] \lambda(A) \le \lambda(B_\epsilon) [/mm] + [mm] \epsilon$ [/mm] |
1)
Wenn ich [mm] \IQ \in \IR [/mm] betrachte, kann ich doch keine solche [mm] \epsilon [/mm] Umgebung finden. Da ist dann, wenn ich die Bälle um die rationalen Zahlen betrachte, immer noch ganz [mm] \IR [/mm] mit drinnen . Dann ist das Epsilon [mm] \infty [/mm] ?
Wenn A der Form [a,b] wäre, könnte ich [mm] [a-\bruch{\epsilon}{4},b+\bruch{\epsilon}{4}] [/mm] nehmen, ist das gemeint? Zwar erfüllt diese Menge dann das obige, jedoch ist dies keine Lösung für den allgemeinen Fall
Wie finde ich bei 1) eine solche Menge?
Bei 2) weiss ich auch nicht wirklich, wie ich das machen soll. Auch hier könnte ich dann [mm] [-M+\bruch{\epsilon}{4},M-\bruch{\epsilon}{4}] [/mm] nehmen aber das muss dann nicht unbedingt wieder in A sein?
Weiss hier vlt. jmd. von euch weiter?
Grüsse
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Hiho,
> Wenn ich [mm]\IQ \in \IR[/mm] betrachte,
1.) [mm] \IQ [/mm] ist kein Element von [mm] \IR [/mm] sondern eine Teilmenge. Auf Notation achten! Das ist ein fundamentaler Unterschied.
> kann ich doch keine solche [mm]\epsilon[/mm] Umgebung finden.
In der Aufgabe ist keine Rede von Umgebungen.
Für [mm] $A=\IQ$ [/mm] leistet bspw. [mm] $A_\varepsilon [/mm] = [mm] \IQ \cup \{\sqrt{2}\}$ [/mm] das Gewünschte.
Wenn du dir mein Beispiel oben anguckst, könntest du auch eine Idee für beliebige [mm] $A\not= \IR$ [/mm] bekommen
> Wenn A der Form [a,b] wäre, könnte ich [mm][a-\bruch{\epsilon}{4},b+\bruch{\epsilon}{4}][/mm] nehmen, ist das gemeint?
Ja, das wäre eine Lösung, es geht aber viel einfacher, siehe mein Beispiel oben 
> Auch hier könnte ich dann [mm][-M+\bruch{\epsilon}{4},M-\bruch{\epsilon}{4}][/mm] nehmen aber das muss dann nicht unbedingt wieder in A sein?
Korrekt, das hast du gut erkannt.
Wie hattet ihr Meßbarkeit definiert in Bezug auf äußere Maße?
Da gibt es eine schöne Definition, die dir b) sofort liefern würde
MFG,
Gono.
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Hallo
Wie haben Lebesgue messbar so definiert:
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F ist eine Algebra, erzeugt durch (a,b], [mm] (-\infty,b] [/mm] , [mm] (a,\infty), (-\infty,\infty) [/mm] . l das Längenmass.
Dann existiert mit dem Satz von Hahn ein [mm] \lambda [/mm] auf der [mm] \sigma-Algebra [/mm] A ("Erweiterung von F").
Elemente in dieser [mm] \sigma-Algebra [/mm] A heissen Lebesgue-messbare Mengen und [mm] \lambda [/mm] heisst das Lebesgue-Mass auf [mm] \IR [/mm] .
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1)
Wenn [mm] A=(-\infty,b] [/mm] , [mm] (a,\infty) [/mm] oder [mm] (-\infty,\infty) [/mm] ist
A [mm] \subset [/mm] A und [mm] \lambda(A)= \infty \le \infty [/mm] = [mm] \infty [/mm] + [mm] \epsilon [/mm] = [mm] \lambda(A) [/mm] + [mm] \epsilon \forall \epsilon [/mm] > 0
Wenn A= (a,b] ist mit B:= [mm] (a-\frac{\epsilon}{4},b+\frac{\epsilon}{4}]
[/mm]
A [mm] \subset [/mm] B und [mm] \lambda(A) [/mm] = b-a [mm] \le [/mm] b-a + [mm] \frac{\epsilon}{2}=\lambda(B)
[/mm]
Reicht es hier, dies nur fürs Erzeugendensystem zu zeigen?
2)
Messbar bezüglich äussere Masse heisst E [mm] \subset [/mm] X [mm] \mu-messbar [/mm] falls [mm] \forall [/mm] A [mm] \in [/mm] Pot(X):
[mm] \mu (E)=\mu(E \cap [/mm] A) + [mm] \mu [/mm] (E [mm] \setminus [/mm] A)
Weil A [mm] \subset [/mm] [-M,M] gilt, [mm] \lambda [/mm] Mass => [mm] \lambda [/mm] äusseres Mass, hat man bspweise
[mm] \lambda([-M,M])=\lambda(A)+\lambda([-M,M] \setminus [/mm] A)
Wie muss ich das hier weiter umstellen?
Grüsse
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 05.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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