www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGruppe, Ring, KörperEigenschaft Nullstellen K[X,Y]
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Eigenschaft Nullstellen K[X,Y]
Eigenschaft Nullstellen K[X,Y] < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Eigenschaft Nullstellen K[X,Y]: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:22 Sa 20.02.2010
Autor: tobit09

Hallo zusammen,

um ein Beispiel aus der algebraischen Geometrie nachzuvollziehen, suche ich einen Beweis für folgende Aussage:

Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper, [mm] $f\in [/mm] K[X,Y]$ ein irreduzibles Polynom in zwei Variablen, [mm] $(\alpha,\beta)\in K^2$ [/mm] eine Nullstelle von f.
Dann gibt es Polynome [mm] $g,h\in [/mm] K[X,Y]$ mit [mm] $f=g(X-\alpha)+h(Y-\beta)$. [/mm]

Ich habe leider keinen Ansatz, wie ich g und h konstruieren könnte.

Hat jemand eine Idee? Vielen Dank im Voraus!

Viele Grüße
Tobias

        
Bezug
Eigenschaft Nullstellen K[X,Y]: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:52 Sa 20.02.2010
Autor: SEcki


> Ich habe leider keinen Ansatz, wie ich g und h konstruieren
> könnte.
>  
> Hat jemand eine Idee? Vielen Dank im Voraus!

Mir fiel da ein, zweimal Teilen mit Rest erst in [m](K[X])[Y][/m], dann in [m](K[Y])[X][/m] mit dem Rest. Vielleicht in Kombination mit Induktion über den Grad des Polynoms (Summe der Koeff. von X und Y). Ich glaube, das müsste durchgehn. Wobei man alg. abgeschlossen braucht, seh ich nicht. Vielleicht lieg ich ja auch falsch.

SEcki

Bezug
                
Bezug
Eigenschaft Nullstellen K[X,Y]: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:24 Sa 20.02.2010
Autor: tobit09

Hallo Eckhard,

danke für deine Idee! Habe damit einen Beweis gefunden!

Wir dividieren f in $(K[X])[Y]$ durch [mm] $(Y-\beta)$ [/mm] (geht, da höchster Koeffizient 1 und somit Einheit in $K[X]$): Wir erhalten [mm] $h,r\in [/mm] (K[X])[Y]$ mit [mm] $f=h(Y-\beta)+r$ [/mm] und [mm] $\operatorname{grad}r<\operatorname{grad}(Y-\beta)=1$, [/mm] also [mm] $r\in [/mm] K[X]$.
Weiter dividieren wir r in $K[X]$ durch [mm] $(X-\alpha)$: [/mm] Wir erhalten [mm] $g,a\in [/mm] K[X]$ mit [mm] $r=g(X-\alpha)+a$ [/mm] und [mm] $\operatorname{grad}a<\operatorname{grad}(X-\alpha)=1$, [/mm] also [mm] $a\in [/mm] K$.
Nun gilt [mm] $0=f(\alpha,\beta)=r(\alpha,\beta)=a$. [/mm] Also erhalten wir [mm] $f=h(Y-\beta)+r=h(Y-\beta)+g(X-\alpha)+a=g(X-\alpha)+h(Y-\beta)$. [/mm]

Dass f irreduzibel und K algebraisch abgeschlossen ist, braucht man tatsächlich nirgendwo.

Viele Grüße
Tobias

Bezug
                        
Bezug
Eigenschaft Nullstellen K[X,Y]: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:46 Sa 20.02.2010
Autor: felixf

Moin,

> danke für deine Idee! Habe damit einen Beweis gefunden!
>  
> Wir dividieren f in [mm](K[X])[Y][/mm] durch [mm](Y-\beta)[/mm] (geht, da
> höchster Koeffizient 1 und somit Einheit in [mm]K[X][/mm]): Wir
> erhalten [mm]h,r\in (K[X])[Y][/mm] mit [mm]f=h(Y-\beta)+r[/mm] und
> [mm]\operatorname{grad}r<\operatorname{grad}(Y-\beta)=1[/mm], also
> [mm]r\in K[X][/mm].
>  Weiter dividieren wir r in [mm]K[X][/mm] durch
> [mm](X-\alpha)[/mm]: Wir erhalten [mm]g,a\in K[X][/mm] mit [mm]r=g(X-\alpha)+a[/mm]
> und [mm]\operatorname{grad}a<\operatorname{grad}(X-\alpha)=1[/mm],
> also [mm]a\in K[/mm].
>  Nun gilt [mm]0=f(\alpha,\beta)=r(\alpha,\beta)=a[/mm].
> Also erhalten wir
> [mm]f=h(Y-\beta)+r=h(Y-\beta)+g(X-\alpha)+a=g(X-\alpha)+h(Y-\beta)[/mm].

[ok]

> Dass f irreduzibel und K algebraisch abgeschlossen ist,
> braucht man tatsächlich nirgendwo.

Genau. Das sind nur so Voraussetzungen, die man macht, damit man vernuenftig Geometrie machen kann :) Fuer die Aussage, dass man $f$ so schreiben kann, wuerde es voellig ausreichen, wenn $K$ irgendein kommutativer Ring mit 1 ist.

Das irreduzibel sorgt dafuer, dass die Kurve nicht mehrere Komponenten hat (also die Vereinigung von verschiedenen Kurven ist) (daraus folgt, dass $f$ hoechstens einen Primfaktor hat) und dass der Koordinatenring $K[X, Y] / (f)$ keine nilpotenten Elemente hat (daraus folgt, dass $f$ quadratfrei ist).

Und $K$ haette man gerne algebraisch abgeschlossen damit man auch "alle" Punkte auf der Kurve finden kann, und nicht nur ein paar oder sogar garkeine. Ueber $K$ ist [mm] $\{ (x, y) \mid f(x, y) = 0 \}$ [/mm] dann auch das was man sich bildlich unter einer Kurve vorstellt.

LG Felix


Bezug
                                
Bezug
Eigenschaft Nullstellen K[X,Y]: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:03 Sa 20.02.2010
Autor: tobit09

Hallo Felix,

danke für deine Mühe!

Aus dem Kontext, dem ich die nun bewiesene Aussage entnommen habe, geht hervor, warum sie dort nur für f irreduzibel und K algebraisch abgeschlossen benötigt wird. Eine weitere Frage in diesem Zusammenhang (die aber wieder algebraischer und nicht geometrischer Natur ist) folgt noch.

> Das irreduzibel sorgt dafuer, dass die Kurve nicht mehrere
> Komponenten hat (also die Vereinigung von verschiedenen
> Kurven ist) (daraus folgt, dass [mm]f[/mm] hoechstens einen
> Primfaktor hat) und dass der Koordinatenring [mm]K[X, Y] / (f)[/mm]
> keine nilpotenten Elemente hat (daraus folgt, dass [mm]f[/mm]
> quadratfrei ist).

Den Begriff Kurve hatten wir (noch?) gar nicht. Auch die Begriffe Koordinatenring und quadratfrei sehe ich zum ersten Mal. Dass $K[X,Y]/(f)$ für f irreduzibel keine nilpotenten Elemente hat, ist mir klar (es liegt ja sogar ein Integritätsring vor).

> Und [mm]K[/mm] haette man gerne algebraisch abgeschlossen damit man
> auch "alle" Punkte auf der Kurve finden kann, und nicht nur
> ein paar oder sogar garkeine. Ueber [mm]K[/mm] ist [mm]\{ (x, y) \mid f(x, y) = 0 \}[/mm]
> dann auch das was man sich bildlich unter einer Kurve
> vorstellt.

Diese Vorstellung könnte noch hilfreich für mich sein!

Viele Grüße
Tobias

Bezug
                                        
Bezug
Eigenschaft Nullstellen K[X,Y]: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:36 Sa 20.02.2010
Autor: SEcki


>  Den Begriff Kurve hatten wir (noch?) gar nicht. Auch die
> Begriffe Koordinatenring und quadratfrei sehe ich zum
> ersten Mal. Dass [mm]K[X,Y]/(f)[/mm] für f irreduzibel keine
> nilpotenten Elemente hat, ist mir klar (es liegt ja sogar
> ein Integritätsring vor).

[]Eine Kurve im Sinne der algebraischen Geometrie, also eine ein-dimensionale Varietät. Das einfachste Beispiel ist [m]x^2+y^2-1[/m], dessen Nullstellenmenge ja offensichtlich ein Kreis (über den rellen Zahlen) ist, und somit eine Manigfaltigkeit. Und das war mein Wissen über algebraische Geometrie auch schon - Nullstellenmenge von Polynomen quasi als Manigfaltigkeiten betrachten.

SEcki



Bezug
                                                
Bezug
Eigenschaft Nullstellen K[X,Y]: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:50 Sa 20.02.2010
Autor: tobit09


> []Eine Kurve
> im Sinne der algebraischen Geometrie, also eine
> ein-dimensionale Varietät. Das einfachste Beispiel ist
> [m]x^2+y^2-1[/m], dessen Nullstellenmenge ja offensichtlich ein
> Kreis (über den rellen Zahlen) ist, und somit eine
> Manigfaltigkeit. Und das war mein Wissen über algebraische
> Geometrie auch schon - Nullstellenmenge von Polynomen quasi
> als Manigfaltigkeiten betrachten.

Der Begriffsapparat, mit dem heutzutage algebraische Geometrie betrieben wird, lässt für mich als Anfänger solche geometrische Bedeutungen übrigens sehr in den Hintergrund treten. Wenn ich mal etwas besser im Abstrakten drin bin, wird sicherlich auch mal Gelegenheit sein, mich mit den geometrischen Vorstellungen dahinter auseinanderzusetzen...

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]