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| Aufgabe | Seien [mm] $a\ne{b}\ne{c}\ne{a}$. [/mm] Zeigen Sie mit Hielfe der Eigenschaften der Determinamte, aber ohne den Laplace`schen Entwicklungssatz zu verwenden, dass:
[mm] $det\begin{pmatrix}
1&1&1\\
a&b&c\\
a^2&b^2&c^2
\end{pmatrix}=(a-b)*(b-c)*c-a)$
[/mm]
Folgern Sie anschließend daraus, dass die folgenden Vektoren eine Basis von [mm] $\IR$ [/mm] bilden
[mm] $v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}, v_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix}$ [/mm] |
also mit der Regel von Sarus folgt ja das:
[mm] $det\begin{pmatrix}
1&1&1\\
a&b&c\\
a^2&b^2&c^2
\end{pmatrix}=b*c^2+c*a^2+a*b^2-a^2*b-b^2*c-c^2*a\\
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
[mm] =b*(c^2-a^2)+a*(b^2-c^2)+(a^2-b^2)$
[/mm]
Mein Problem ist das ich jetzt nicht weiterkommen und das unbestimmte gefühl habe das ich den falschen Ansatzt gewählt habe. Könnt ihr mir auf die Sprünnge helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 So 08.12.2013 | | Autor: | fred97 |
[mm] x^2-y^2=(x-y)(x+y)
[/mm]
FRED
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Das hift mir gerade garnicht. Ich weiß weder ob die Idee mit Sarrus richtig ist noch was ich mit diser Gleichung soll?
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Hallo,
> Das hift mir gerade garnicht. Ich weiß weder ob die Idee
> mit Sarrus richtig ist noch was ich mit diser Gleichung
> soll?
Es war richtig. Letzendlich ist es ja eigentlich egal, denn mit jedem Rechenweg muss das gleiche herauskommen. Das 'Verbot' des Laplaceschen Entwicklungssatzes baut dir hier einfach nur ein, zwei zusätzliche Rechneschritte ein (was durchaus als Tipp gedacht ist, das auch mal zu probieren).
Letztendlich wollte dir FRED sagen: du bist auf dem richtigen Weg und musst jetzt ein wenig faktorisieren*, wobei eben die 3. binomische Formel nützlich sein wird.
*Das ist ein ganz klein wenig untertrieben. 
Gruß, Diophant
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> Seien [mm]a\ne{b}\ne{c}\ne{a}[/mm]. Zeigen Sie mit Hielfe der
> Eigenschaften der Determinamte, aber ohne den Laplace'schen
> Entwicklungssatz zu verwenden, dass:
>
> [mm]$det\begin{pmatrix}
1&1&1\\
a&b&c\\
a^2&b^2&c^2
\end{pmatrix}=(a-b)*(b-c)*c-a)$[/mm]
>
> Folgern Sie anschließend daraus, dass die folgenden
> Vektoren eine Basis von [mm]\IR[/mm] bilden
> [mm]v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}, v_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix}[/mm]
>
Danke Leute, ich habe denn ersten Teil mit hilfe euren Tips gut lösen können. Aber beim zweiten Teil der Aufgabe stehe ich zimlich auf den schlauch. Ich nehme an das es eigentlich ganz offensichtlich ist aber ich weiß einfach nicht wie was da der Zusammenhang sein soll. Ich währe dankbar für ein paar Tipps.
> also mit der Regel von Sarus folgt ja das:
>
> [mm]$det\begin{pmatrix}
1&1&1\\
a&b&c\\
a^2&b^2&c^2
\end{pmatrix}=b*c^2+c*a^2+a*b^2-a^2*b-b^2*c-c^2*a\\[/mm]
>
> [mm]\\[/mm]
>
> [mm]=b*(c^2-a^2)+a*(b^2-c^2)+(a^2-b^2)$[/mm]
>
> Mein Problem ist das ich jetzt nicht weiterkommen und das
> unbestimmte gefühl habe das ich den falschen Ansatzt
> gewählt habe. Könnt ihr mir auf die Sprünnge helfen?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Danke Leute, ich habe denn ersten Teil mit hilfe euren
> Tips gut lösen können. Aber beim zweiten Teil der Aufgabe
> stehe ich zimlich auf den schlauch. Ich nehme an das es
> eigentlich ganz offensichtlich ist aber ich weiß einfach
> nicht wie was da der Zusammenhang sein soll. Ich währe
> dankbar für ein paar Tipps.
Nun, du hast ja a,b,c paarweise verschieden. Welchen Wert kann dann die Determinante nicht annehmen? Was folgt hieraus bspw. für die Spaltenvektoren der Matrix?
Gruß, Diophant
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Du meinst dann muss [mm] $det(A)\ne0$ [/mm] sein?
Wenn man dann
$a=1, b=2, c=3$
wählt wären die Spalten der Matrix gerade die Vektoren [mm] $v_1,v_2,v_3$ [/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 1&1 \\
1&2&3\\
1&4&9
\end{pmatrix}
[/mm]
Multiplizit man dann die Matrix mit der Standart Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] erhält man die Spalten der Matrix. Aber ist das dan wirklich eine Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 Di 10.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Du meinst dann muss [mm]det(A)\ne0[/mm] sein?
> Wenn man dann
> [mm]a=1, b=2, c=3[/mm]
> wählt wären die Spalten der Matrix gerade die Vektoren
> [mm]v_1,v_2,v_3[/mm]
Ja
>
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 1&1 \\
1&2&3\\
1&4&9
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Multiplizit man dann die Matrix mit der Standart Basis des
> [mm]\IR^3[/mm] erhält man die Spalten der Matrix. Aber ist das dan
> wirklich eine Basis des [mm]\IR^3[/mm]
Haä ??
[mm]v_1,v_2,v_3[/mm] ist eine Basis des [mm] \IR^3 \gdw [/mm] die Determinante der obigen Matrix ist [mm] \ne [/mm] 0
FRED
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Was den jetzt ist das richtig oder nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 Di 10.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Was den jetzt ist das richtig oder nicht?
Was ?
FRED
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> > Du meinst dann muss [mm]det(A)\ne0[/mm] sein?
> > Wenn man dann
> > [mm]a=1, b=2, c=3[/mm]
> > wählt wären die Spalten der Matrix gerade die Vektoren
> > [mm]v_1,v_2,v_3[/mm]
>
> Ja
Also stimmt die obere Überlegung?
>
> >
> > [mm]\begin{pmatrix}
1 & 1&1 \\
1&2&3\\
1&4&9
\end{pmatrix}[/mm]
> >
> > Multiplizit man dann die Matrix mit der Standart Basis des
> > [mm]\IR^3[/mm] erhält man die Spalten der Matrix. Aber ist das dan
> > wirklich eine Basis des [mm]\IR^3[/mm]
>
> Haä ??
Was meinst du hier?
>
> [mm]v_1,v_2,v_3[/mm] ist eine Basis des [mm]\IR^3 \gdw[/mm] die
> Determinante der obigen Matrix ist [mm]\ne[/mm] 0
>
> FRED
>
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> > > Du meinst dann muss [mm]det(A)\ne0[/mm] sein?
> > > Wenn man dann
> > > [mm]a=1, b=2, c=3[/mm]
> > > wählt wären die Spalten der Matrix gerade die Vektoren
> > > [mm]v_1,v_2,v_3[/mm]
> >
> > Ja
>
> Also stimmt die obere Überlegung?
Hallo,
ich sehe da gar keine Überlegung...
Mit a=1, b=2, c=3 sind die Spalten der Matrix [mm] v_1, v_2, v_3.
[/mm]
Ja.
> >
> > >
> > > [mm]\begin{pmatrix}
1 & 1&1 \\
1&2&3\\
1&4&9
\end{pmatrix}[/mm]
> > >
> > > Multiplizit man dann die Matrix mit der Standart Basis des
> > > [mm]\IR^3[/mm] erhält man die Spalten der Matrix. Aber ist das dan
> > > wirklich eine Basis des [mm]\IR^3[/mm]
> >
> > Haä ??
>
> Was meinst du hier?
Er meint, daß er Deinen Gedanken nicht folgen kann.
Ich kann es auch nicht.
> > [mm]v_1,v_2,v_3[/mm] ist eine Basis des [mm]\IR^3 \gdw[/mm] die
> > Determinante der obigen Matrix ist [mm]\ne[/mm] 0
Ja.
LG Angela
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