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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Mi 20.08.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Reihe auf Monotonie, Beschränktheit, Konvergenz:
[mm] a_n=\bruch{1}{n^2+1} [/mm] |
Also eigtl. kann man sich das alles durch nachdenken erklären aber mir geht es darum wie man sowas beweist.
Klar ist, dass mit steigendem n der Nenner immer größer wird und damit gegen 0 strebt. Damit ist der Grenzwert g=0 und die Folge ist streng monoton fallend.
Ebenso ist sie beschränkt da [mm] \bruch{1}{2} [/mm] eine obere Schranke und der Grenzwert g eine untere Schranke bilden.
Ich habe für die Monotonie folgenden Beweis durchgeführt.
[mm] a_{n+1}-a_n=\bruch{1}{(n+1)^2+1}-\bruch{1}{n^2+1}
[/mm]
[mm] =\bruch{n^2+1-(n^2+2n+2)}{(n^2+2n+2)(n^2+1)}
[/mm]
[mm] =\bruch{-2n-3}{n^4+2n^3++n^24n+2}<0 \to [/mm] streng monoton fallend
Das es eine Nullfolge ist, habe ich wohl auch bewiesen, allerdings wird mir der Grund noch nicht so klar?!
[mm] a_n<\epsilon
[/mm]
[mm] |\bruch{1}{n^2+1}|<\epsilon
[/mm]
[mm] \bruch{1}{n^2+1}<\epsilon
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\epsilon}-1
[mm] \sqrt{\bruch{1}{\epsilon}-1}
Was genau heisst das jetzt?
Mir ist noch nicht ganz klar geworden wieso ich damit bewiesen habe, dass das eine Nullfolge ist.
Die Beschränktheit wäre damit ja automatisch bewiesen, da die Folge streng monoton fallend ist und eine Nullfolge ist aber das mit der Nullfolge ist mir noch nicht so klar,...
Gruß,
tedd
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Hallo tedd,
> Untersuchen Sie folgende Reihe auf Monotonie,
> Beschränktheit, Konvergenz:
> [mm]a_n=\bruch{1}{n^2+1}[/mm]
> Also eigtl. kann man sich das alles durch nachdenken
> erklären aber mir geht es darum wie man sowas beweist.
> Klar ist, dass mit steigendem n der Nenner immer größer
> wird und damit gegen 0 strebt. Damit ist der Grenzwert g=0
> und die Folge ist streng monoton fallend.
> Ebenso ist sie beschränkt da [mm]\bruch{1}{2}[/mm] eine obere
> Schranke und der Grenzwert g eine untere Schranke bilden.
>
> Ich habe für die Monotonie folgenden Beweis durchgeführt.
>
> [mm]a_{n+1}-a_n=\bruch{1}{(n+1)^2+1}-\bruch{1}{n^2+1}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{n^2+1-(n^2+2n+2)}{(n^2+2n+2)(n^2+1)}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{-2n-\red{1}}{n^4+2n^3++n^24n+2}<0 \to[/mm] streng monoton fallend ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Kleiner Verrechner 
Den Nenner brauchst du gar nicht auszumultiplizieren, der ist als Produkt zweier positiver Faktoren doch eh positiv
>
> Das es eine Nullfolge ist, habe ich wohl auch bewiesen,
> allerdings wird mir der Grund noch nicht so klar?!
>
> [mm]a_n<\epsilon[/mm]
>
> [mm]|\bruch{1}{n^2+1}|<\epsilon[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{n^2+1}<\epsilon[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{\epsilon}-1
>
> [mm]\sqrt{\bruch{1}{\epsilon}-1}
>
> Was genau heisst das jetzt?
> Mir ist noch nicht ganz klar geworden wieso ich damit
> bewiesen habe, dass das eine Nullfolge ist.
>
Du musst ja gem. dem [mm] $\varepsilon$-Kriterium [/mm] zu belíebig vorgegebenem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $n_0\in\IN$ [/mm] angeben, so dass für alle [mm] $n>n_0$ [/mm] gilt:
[mm] $|a_n-Grenzwert|<\varepsilon$
[/mm]
Also hier, wie du richtig geschrieben hast: [mm] $\left|\frac{1}{n^2+1}\right|<\varepsilon$
[/mm]
Mit deiner obigen Abschätzungsrechnung (die übrigens auf ein Schmierblatt gehört), hast du dir dein [mm] $n_0$ [/mm] konstruiert.
Wählst du [mm] $n_0$ [/mm] also nächstgrößere natürliche Zahl bzgl. [mm] $\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}-1}$, [/mm] so gilt für alle [mm] $n>n_0$ [/mm] die gewünschte Abschätzung.
Allerdings würde ich ein wenig anders abschätzen, denn deine Abschätzung funktioniert nicht für beliebige [mm] $\varepsilon>0$.
[/mm]
Für [mm] $\varepsilon>1$ [/mm] klappt das nicht.
Warum?
Vllt. kannst du "besser" so abschätzen:
[mm] $\left|\frac{1}{n^2+1}\right|=\frac{1}{n^2+1}\le\frac{1}{n^2}$
[/mm]
Und das soll [mm] $<\varepsilon$ [/mm] sein, also [mm] $n^2>\frac{1}{\varepsilon}$, [/mm] also [mm] $n>\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}$
[/mm]
Damit wähle dein [mm] $n_0$ [/mm] als nächstgrößere natürliche Zahl zu [mm] $\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}$, [/mm] dann gilt für alle [mm] $n>n_0$ [/mm] genau die gewünschte Abschätzung
> Die Beschränktheit wäre damit ja automatisch bewiesen, da
> die Folge streng monoton fallend ist und eine Nullfolge ist
> aber das mit der Nullfolge ist mir noch nicht so klar,...
> Gruß,
> tedd
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:50 Do 21.08.2008 | | Autor: | tedd |
Hey Schachuzipus...
Ich bin zwar immernoch nicht ganz dahinter gestiegen aber deine Antwort hat mir aufjedenfall shconmal weitergeholfen
Danke und besten Gruß,
tedd
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